• Section 1.1 : Definitions

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• 【考研 高等数学 微分方程】_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-2可分离变量的微分方程_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-3齐次微分方程_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-4一阶线性微分方程_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-5伯努利方程_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-6全微分方程_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-7可降阶的微分方程_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-8齐次—线性微分方程—解的结构_哔哩哔哩_bilibili

• 7-1-9非齐次—线性微分方程解的结构_哔哩哔哩_bilibili

常微分方程核心笔记与典型题解

一、 微分方程的基本概念与分类

1.1 什么是微分方程？

• 定义：含有未知函数、未知函数的导数（或微分）以及自变量之间关系的方程，称为微分方程。
• 求解目标：寻找一个具体的函数关系 $y = f(x)$，使其代入方程后左右两端恒等。

1.2 微分方程的分类

根据未知函数的自变量个数和方程中未知函数及其导数的关系，微分方程可作如下分类：

1) 按自变量个数分类

• 常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)：未知函数为一元函数。

  • 示例：$\frac{dy}{dx} = 2xy$

• 偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE)：未知函数为多元函数，方程中含有偏导数。

  • 示例：设 $u = u(x, y)$，则有偏微分方程：

    $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = x + y$

2) 按线性与非线性分类

• 线性微分方程：未知函数 $y$ 及其各阶导数 $y', y'', \dots, y^{(n)}$ 的次数均为一次，且它们的系数仅与自变量 $x$ 相关（或为常数）。
• 非线性微分方程：未知函数或其导数的次数不为一次，或者存在它们相互相乘、求复合函数等非线性项。

💡 易错点拨 —— 阶（Order）与次数（Degree）的区别：

• 阶：方程中未知函数导数的最高阶数。
• 次数：方程中最高阶导数的最高幂次。
• 判定线性与否时，必须确保未知函数及其所有导数本身的指数均为 1，且不能有形如 $y \cdot y'$ 或 $\sin(y)$ 的非线性项。

1.3 典型判定例题

【例题 1】判定方程 $y' + x^2 y = \sin x$ 的线性性。

• 解析： 方程中未知函数 $y$ 和一阶导数 $y'$ 均为一次幂，且系数分别为 $x^2$ 和 $1$（仅与自变量 $x$ 有关）。
• 结论：一阶线性微分方程。

【例题 2】判定方程 $y'' + x (y')^2 - y = 1$ 的线性性。

• 解析： 方程中含有一阶导数的平方项 $(y')^2$，其次数为二次，破坏了线性性质。
• 结论：二阶非线性微分方程。

1.4 通解与特解

• 通解 (General Solution)：
  • 对于一个 $n$ 阶微分方程，其解中含有 $n$ 个相互独立的基本任意常数 $C_1, C_2, \dots, C_n$，此解称为该方程的通解。
• 特解 (Particular Solution)：
  • 通过给定的初始条件（例如 $y|_{x=x_0} = y_0$）确定了通解中任意常数的具体值后，所得到的解称为特解。

二、 一阶微分方程的经典类型与解法

在一阶常微分方程中，有五种最为经典的方程类型，它们的求解方法各具特色：

2.1 可分离变量的微分方程 (Separable ODEs)

1) 标准形式

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

2) 求解方法

1. 分类讨论：

   • 若 $g(y) \neq 0$：两边同除以 $g(y)$ 并乘 $dx$，将自变量与因变量完全剥离到等号两侧：

     $\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx$

     两边同时积分：

     $\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C \implies G(y) = F(x) + C$

   • 若存在 $y = y_0$ 使得 $g(y_0) = 0$： 直接代入原方程可知，常数函数 $y = y_0$ 也是方程的解。在写出最终通解时，需检查该特解是否已被包含在通解的常数中。

3) 典型例题

【例 1】求微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ 的通解。

• 详细求解过程：

  1. 若 $y \neq 0$： 分离变量得：

     $\frac{1}{y} dy = 2x dx$

     两边积分：

     $\int \frac{1}{y} dy = \int 2x dx + C_1$

     $\ln|y| = x^2 + C_1 \implies |y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{x^2}$

     令 $C = \pm e^{C_1}$（此时 $C \neq 0$），则有：

     $y = C e^{x^2} \quad (C \neq 0)$

  2. 若 $y = 0$： 直接代入原微分方程：

     $\text{左边} = \frac{d(0)}{dx} = 0, \quad \text{右边} = 2x \cdot 0 = 0$

     左右两端相等，故定值常数函数 $y = 0$ 也是方程的一个解。

  3. 合并结论： 允许常数 $C = 0$ 时，即可将 $y = 0$ 融入通解公式中。

• 最终通解：

  $y = C e^{x^2} \quad (C \in \mathbb{R})$

【例 2】求微分方程 $y dx + x^2 dy - 4 dy = 0$ 满足初始条件 $y|_{x=1} = 2$ 的特解。

• 详细求解过程：

  1. 整理方程形式：

     $y dx + (x^2 - 4) dy = 0 \implies (x^2 - 4) dy = -y dx$

  2. 分离变量（设 $y \neq 0$ 且 $x \neq \pm 2$）：

     $\frac{1}{y} dy = -\frac{1}{x^2 - 4} dx = \frac{1}{4 - x^2} dx$

  3. 两边进行积分： 利用部分分式拆分法：$\frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{(2-x)(2+x)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2+x}\right)$。

     $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2+x}\right) dx$

     $\ln|y| = \frac{1}{4} \left( -\ln|2-x| + \ln|2+x| \right) + C_1$

     $\ln|y| = \frac{1}{4} \ln\left| \frac{2+x}{2-x} \right| + C_1$

     两边取指数得：

     $y = C \sqrt[4]{\left| \frac{2+x}{2-x} \right|}$

  4. 代入初始条件求解常数 $C$： 当 $x=1, y=2$ 时，自变量区间在 $x \in (-2, 2)$ 内，去掉绝对值符号：

     $2 = C \sqrt[4]{\frac{2+1}{2-1}} \implies 2 = C \sqrt[4]{3} \implies C = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}$

  5. 确定特解： 将 $C$ 代入解中，并去掉对应区间内的绝对值：

     $y = \frac{2}{\sqrt[4]{3}} \sqrt[4]{\frac{2+x}{2-x}} = 2 \sqrt[4]{\frac{2+x}{3(2-x)}}$

• 最终特解：

  $y = 2 \left( \frac{2+x}{6-3x} \right)^{\frac{1}{4}}$

2.2可化为变量分离方程

这一部分是最难的

这份关于“一阶微分方程整体代换法”的深度复习笔记已经为你整理好了。

这份笔记的核心在于打破死记硬背的局限，提炼出解题的底层通用逻辑。推荐你把它当作方法论指南，在做题前反复对照。

📝 数学方法论笔记：一阶微分方程的“整体代换法”

📌 核心本质：从“背题型”到“看透底层逻辑”

一句话核心判定：

当方程中出现某个复合量 $u = \varphi(x,y)$，并且通过其导数关系 $u' = \varphi_x + \varphi_y y'$ 能够把原方程中的 $y$ 和 $y'$ 完全消掉或转换时，就可以通过令 $u = \varphi(x,y)$ 将方程转化为关于 $u$ 和 $x$ 的新方程 $u' = F(x,u)$。如果能进一步整理为 $g(u)du = f(x)dx$，则成功化为可分离变量方程。

我们常说的“齐次方程”、“$ax+by+c$ 型”都只是这个底层逻辑下的特例。

🔍 核心技能 1：代换的“识别入口”（候选表）

看到以下标志性复合量时，应条件反射般地想到对应的代换方向。注意：不要死记公式，要理解它们的导数联动关系！

复合量特征	优先代换设法	导数/变量关系（消去 y,y′ 的武器）	对应经典题型
$\frac{y}{x}$ 或 $\frac{x}{y}$	$u = \frac{y}{x} \implies y = ux$	$y' = u'x + u$	齐次方程 (Homogeneous)
$ax + by + c$	$u = ax + by + c$	$u' = a + by'$	线性组合复合型
$xy$	$u = xy \implies y = \frac{u}{x}$	$u' = xy' + y$ 或 $y' = \frac{xu' - u}{x^2}$	$xy$ 联动型
$x + y$ / $x - y$	$u = x \pm y$	$u' = 1 \pm y'$	对称加减型
$y + px$	$u = y + px$	$u' = y' + p$	倾斜斜率型

🛠️ 核心技能 2：做题四步标准流程（以典型例题为例）

典型例题

求解微分方程：$(x^2y+x)y' + xy^2 - y = 0$

📥 第一步：提公因式，寻找“最自然的整体量”

不要急着做变量分离。先对多项式进行因式分解，暴露出隐藏的复合结构：

• $x^2y + x = x(xy + 1)$
• $xy^2 - y = y(xy - 1)$

重构方程：

$x(xy+1)y' + y(xy-1) = 0$

🧠 观察结论： 括号内部只依赖于复合量 $xy$，且外面同时出现了 $x y'$ 与 $y$ 的结构（它们是 $(xy)'$ 的组成部分）。因此，最自然、最对称的整体代换是令 $u = xy$。

🔄 第二步：机械代换，写出变量关系

确定 $u = xy$ 后，立刻列出用 $u, x$ 表达 $y, y'$ 的公式：

$y = \frac{u}{x}$

$y' = \frac{xu' - u}{x^2}$

🔬 第三步：代换可行性检查（严格消去 $y$）

将上述关系强行代入重构后的方程：

$x(u+1) \cdot \left(\frac{xu' - u}{x^2}\right) + \frac{u}{x}(u-1) = 0$

两边同时乘以 $x$ 展开并整理：

$(u+1)(xu' - u) + u(u-1) = 0$

$x(u+1)u' - u^2 - u + u^2 - u = 0$

$x(u+1)u' - 2u = 0$

✅ 检查结果： 方程中完全没有残留单独的 $y$，代换完全可行！

📐 第四步：分离变量并求解

将方程整理为标准的分离变量形式：

$x(u+1)\frac{du}{dx} = 2u \implies \frac{u+1}{u}du = 2\frac{dx}{x}$

两边同时积分：

$\int \left(1 + \frac{1}{u}\right)du = 2\int \frac{1}{x}dx$

$u + \ln|u| = 2\ln|x| + C$

最后，将 $u = xy$ 代回原变量，即可得到最终隐式通解。

⚠️ 错因剖析与避坑指南

1. “神奇设元”的迷思：

   绝大多数高分同学不是“一眼看出答案”才去设 $u = xy$ 的，而是通过第一步的因式分解看到括号内被 $xy$ 统治，进而做出的方向性尝试。

2. 盲目拆分 $dx, dy$：

   只要原式中 $x$ 和 $y$ 还在根号、括号或分母里“纠缠”（如 $xy+1$），直接写成 $dy = f(x,y)dx$ 是没有任何操作空间的。必须先整体换元，把纠缠态解开。

3. 缺乏“检查”意识： 代换完后，如果式子里还留有无法写成 $\frac{u}{x}$ 形式的独立 $y$，说明该代换不是正确方向，应立刻返回第一步，重新观察是否能提取其他复合量。

2.2.1 齐次微分方程 (Homogeneous ODEs)

1) 标准形式

$\frac{dy}{dx} = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$

不只有这种情况还有 $\frac{dy}{dx} = \varphi(ax+by+c)$ 这样的情况存在

• 特点：右端项中分子与分母的每一项代数幂次相同。例如：

  $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3 + x^2y + xy^2}{y^3}$

  分子分母同除以 $x^3$ 后可化为关于 $\frac{y}{x}$ 的函数：

  $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2}{\left(\frac{y}{x}\right)^3}$

2) 求解方法（换元法）

1. 引入新变量：令 $u = \frac{y}{x}$，即 $y = ux$。

2. 求导代换：

   $dy = u dx + x du \implies \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

3. 分离变量求解： 将代换关系引入原方程：

   $u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u) \implies x\frac{du}{dx} = \varphi(u) - u$

   若 $\varphi(u) - u \neq 0$，则：

   $\frac{1}{\varphi(u) - u} du = \frac{1}{x} dx$

   两边积分求出 $u(x)$ 后，用 $\frac{y}{x}$ 替换回 $u$。

3) 典型例题

【例 1】求方程 $(x^2 + y^2)dx - xy dy = 0$ 的通解。

• 详细求解过程：

  1. 变形方程：

     $xy dy = (x^2 + y^2)dx \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

  2. 换元： 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。 原方程变形为：

     $u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}$

  3. 分离变量与积分：

     $u du = \frac{1}{x} dx \implies \int u du = \int \frac{1}{x} dx$

     $\frac{1}{2}u^2 = \ln|x| + C$

  4. 代回原变量：

     $\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \ln|x| + C$

• 最终通解：

  $y^2 = 2x^2(\ln|x| + C)$

【例 2】求微分方程 $y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 满足初始条件 $y|_{x=1} = 2$ 的特解。

• 详细求解过程：

  1. 根据【例 1】的推导，通解的隐式表达为：

     $\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \ln|x| + C$

  2. 代入初始条件 $x=1, y=2$：

     $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1}\right)^2 = \ln|1| + C \implies 2 = 0 + C \implies C = 2$

  3. 带回方程：

     $\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \ln|x| + 2 \implies y^2 = 2x^2(\ln|x| + 2)$

• 最终特解：

  $y = x\sqrt{2\ln|x| + 4} \quad (x > 0)$

📌 核心考点：可化为变量分离方程的代换法

💡 题型特征

微分方程形如 $\frac{dy}{dx} = f(ax+by+c)$。右端项不是独立的 $x$ 或 $y$，而是 $x$ 与 $y$ 的线性组合复合形式，无法直接分离变量。

🔑 核心解题思路

利用整体代换思想，令新变量 $u = ax+by+c$，通过链式法则将原方程转化为关于 $u$ 和 $x$ 的可分离变量微分方程。

📝 详细解析与分类讨论

题目： 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{ax+by+c}$ （其中 $a, b, c$ 为常数）

🎈 第一阶段：变量代换（统一变形）

令 $u = ax+by+c$，两边对 $x$ 求导得：

$\frac{du}{dx} = a + b\frac{dy}{dx}$

将原方程 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{u}$ 代入上式，得到关于 $u$ 与 $x$ 的新方程：

$\frac{du}{dx} = a + b\sqrt{u}$

🔍 第二阶段：分类讨论求解

情形一：$b \neq 0$ 且 $a + b\sqrt{u} \neq 0$（常规通解）

此时方程可以分离变量为：

$\frac{du}{a + b\sqrt{u}} = dx$

两边同时积分 $\int \frac{1}{a+b\sqrt{u}} \, du = \int dx$：

💡 积分小技巧（换元+拆项）：

令 $v = \sqrt{u}$，则 $u = v^2$，$du = 2v \, dv$。

$\int \frac{2v}{a+bv} \, dv = \frac{2}{b} \int \frac{(a+bv) - a}{a+bv} \, dv = \frac{2}{b} \int \left( 1 - \frac{a}{a+bv} \right) \, dv$

计算得：

$\frac{2}{b}v - \frac{2a}{b^2}\ln|a+bv| = x + C$

将 $v = \sqrt{u} = \sqrt{ax+by+c}$ 代回原变量，得到隐式通解：

$\boxed{\frac{2}{b}\sqrt{ax+by+c} - \frac{2a}{b^2}\ln\left|a+b\sqrt{ax+by+c}\right| = x + C}$

情形二：$b \neq 0$ 且 $a + b\sqrt{u} = 0$（特解/奇解分析）

若 $a + b\sqrt{u} = 0$，则 $\frac{du}{dx} = 0$，表明 $u$ 为常数。

• 存在条件： $-\frac{a}{b} \ge 0$

• 求解： $\sqrt{u} = -\frac{a}{b} \implies ax+by+c = \frac{a^2}{b^2}$

• 整理得到特殊解：

  $\boxed{y = -\frac{a}{b}x + \frac{1}{b}\left(\frac{a^2}{b^2} - c\right)}$

情形三：$b = 0$（退化情形）

原方程退化为 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{ax+c}$，右边只含 $x$，可直接积分 $y = \int \sqrt{ax+c} \, dx$。

• 当 $a \neq 0$ 时：

  $\boxed{y = \frac{2}{3a}(ax+c)^{\frac{3}{2}} + C}$

• 当 $a = 0$ 时： 方程变为 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{c}$（需满足 $c \ge 0$）

  $\boxed{y = \sqrt{c}x + C}$

⚠️ 常见易错点与避坑指南

• 盲目拆分 $dx$ 和 $dy$： 看到题目切忌直接写成 $dy = \sqrt{ax+by+c}\,dx$ 然后尝试积分。只要根号内 $x$ 和 $y$ 还在“纠缠”，就必须先做整体换元。
• 遗漏特解讨论： 在分离变量将 $a + b\sqrt{u}$ 除到分母上时，严格来说必须讨论其等于 $0$ 的情况（即上面的情形二）。虽然很多普通考试只要求写出隐式通解，但严谨的选拔性考试（如考研、竞赛）中，遗漏此处的特解会导致扣分。

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2.2.2 分式方程的变量替换法

在常微分方程中，形如：

$\frac{dy}{dx} = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}$

的方程称为分式方程（或一阶线性组合分式方程）。这类方程通常无法直接分离变量，但可以通过巧妙的变量替换法，将其转化为可分离变量方程或齐次方程来求解。

根据分子分母中两条直线 $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ 与 $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ 的几何关系（是否过原点、是否平行、是否相交），解法可分为以下三种情况：

核心推导基础：复合函数求导

在进行齐次替换时，我们常令 $u = \frac{y}{x}$（即 $y = ux$）。 根据复合函数求导法则（前导后不导 + 后导前不导），对 $x$ 求导得：

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(ux)}{dx} = x \frac{du}{dx} + u$

记忆口诀：$\frac{dy}{dx} = x u' + u$。这是解决齐次方程的关键桥梁。

第一类情况：$c_1 = c_2 = 0$（齐次方程）

1. 理论说明

当常数项 $c_1$ 和 $c_2$ 均为 $0$ 时，方程退化为经典的齐次微分方程：

$\frac{dy}{dx} = \frac{a_1 x + b_1 y}{a_2 x + b_2 y}$

此时，分子分母同除以 $x$，即可化为关于 $\frac{y}{x}$ 的函数，进而通过令 $u = \frac{y}{x}$ 实现变量分离。

2. 经典例题

【例1】 求解微分方程：

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$

【解析】

• Step 1：化为齐次式 分子、分母同时除以 $x$：

  $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}$

• Step 2：变量代换 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，代入 $\frac{dy}{dx} = x \frac{du}{dx} + u$：

  $x \frac{du}{dx} + u = \frac{1 - u}{1 + u}$

  移项整理得：

  $x \frac{du}{dx} = \frac{1 - u}{1 + u} - u = \frac{1 - 2u - u^2}{1 + u}$

• Step 3：变量分离与积分 将变量分离：

  $\frac{1 + u}{1 - 2u - u^2} du = \frac{1}{x} dx$

  两边同时积分：

  $\int \frac{1 + u}{1 - 2u - u^2} du = \int \frac{1}{x} dx$

  注意到分母求导有 $d(1 - 2u - u^2) = (-2 - 2u)du = -2(1+u)du$，故左边凑微分：

  $-\frac{1}{2} \int \frac{d(1 - 2u - u^2)}{1 - 2u - u^2} = \int \frac{1}{x} dx$

  $-\frac{1}{2} \ln|1 - 2u - u^2| = \ln|x| + \ln|C_1| \quad (C_1 > 0)$

  两边同乘 $-2$，并利用对数性质化简：

  $\ln|1 - 2u - u^2| = -2\ln|x| + \ln|C| = \ln\left|\frac{C}{x^2}\right|$

  去对数得：

  $1 - 2u - u^2 = \frac{C}{x^2}$

  即：

  $x^2 (1 - 2u - u^2) = C$

• Step 4：变量还原 将 $u = \frac{y}{x}$ 代回上式：

  $x^2 \left( 1 - 2\frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2} \right) = C$

  展开整理，得到通解：

  $x^2 - 2xy - y^2 = C$

第二类情况：$c_1, c_2$ 不全为 $0$，且 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$（平行线情况）

1. 理论说明

当 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ 时，说明分子与分母中的未知数线性部分成比例（几何上对应两条平行线）。 此时，我们可以把这个共同的线性组合整体设为新变量 $u$，从而直接化为可分离变量方程。

2. 经典例题

【例2】 求解微分方程：

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x + 1}{y - x + 5}$

【解析】

• Step 1：变量代换 观察到分子分母中均含有共同的组合 $y - x$，故令：

  $u = y - x \implies y = u + x$

  两边对 $x$ 求导：

  $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + 1$

• Step 2：代入原方程并分离变量 将代换关系代入原方程：

  $\frac{du}{dx} + 1 = \frac{u + 1}{u + 5}$

  移项得：

  $\frac{du}{dx} = \frac{u + 1}{u + 5} - 1 = \frac{-4}{u + 5}$

  分离变量：

  $(u + 5) du = -4 dx$

• Step 3：积分求解 两边积分：

  $\int (u + 5) du = \int -4 dx$

  $\frac{1}{2} u^2 + 5u = -4x + C_1$

  两边同乘 $2$，整理常数项（令 $C = 2C_1$）：

  $u^2 + 10u = -8x + C$

• Step 4：还原变量 将 $u = y - x$ 代回：

  $(y - x)^2 + 10(y - x) = -8x + C$

  展开并整理移项：

  $(y - x)^2 + 10y - 2x = C$

第三类情况：$c_1, c_2$ 不全为 $0$，且 $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$（相交线情况）

1. 理论说明与标准求解步骤（SOP）

当 $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ 时，对应平面上两条相交直线。 我们的核心思想是：通过平移坐标轴，将坐标原点移动到这两条直线的交点 $(\alpha, \beta)$ 处，从而消去常数项 $c_1, c_2$，将其转化为第一类（齐次方程）求解。

标准操作步骤（SOP）：

1. 求交点：联立方程组，求出交点 $(\alpha, \beta)$：

   $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \alpha \\ y = \beta \end{cases}$

2. 坐标平移变换：令

   $\begin{cases} x = X + \alpha \\ y = Y + \beta \end{cases} \implies \begin{cases} dX = dx \\ dY = dy \end{cases}$

3. 代入原方程：消去常数项，化为关于 $X, Y$ 的齐次方程：

   $\frac{dY}{dX} = \frac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_2 Y}$

   按照第一类情况求出关于 $X, Y$ 的通解后，再将 $X = x - \alpha, Y = y - \beta$ 代回还原。

2. 经典例题

【例3】 求解微分方程：

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - y + 1}{x + y - 3}$

【解析】

• Step 1：求交点 $(\alpha, \beta)$ 联立分子与分母对应的直线方程：

  $\begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}$

  两式相加得：$2x - 2 = 0 \implies x = 1$。 将 $x = 1$ 代入任意一式得：$y = 2$。 故交点为：

  $(\alpha, \beta) = (1, 2)$

• Step 2：坐标变换 引入新坐标系 $(X, Y)$，令：

  $\begin{cases} x = X + 1 \\ y = Y + 2 \end{cases} \implies \begin{cases} dX = dx \\ dY = dy \end{cases}$

• Step 3：代入原方程化简 由于常数项在交点变换下必然被消去，原方程化为：

  $\frac{dY}{dX} = \frac{(X + 1) - (Y + 2) + 1}{(X + 1) + (Y + 2) - 3} = \frac{X - Y}{X + Y}$

  观察发现，这与【例1】在形式上完全一致。

• Step 4：借用齐次方程求解结果 由【例1】的推导可知，方程 $\frac{dY}{dX} = \frac{X - Y}{X + Y}$ 的通解为：

  $X^2 - 2XY - Y^2 = C$

• Step 5：还原为原变量 $x, y$ 将 $X = x - 1$，$Y = y - 2$ 代回通解公式中：

  $(x - 1)^2 - 2(x - 1)(y - 2) - (y - 2)^2 = C$

  (此即为原微分方程的隐式通解)

💡 总结复习心法

类型	条件特征	几何直观	变换秘籍	变换后方程类型
Type I	$c_1 = c_2 = 0$	两线交于原点	令 $u = \frac{y}{x}$	可分离变量方程
Type II	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$	两线平行	令 $u = a_1 x + b_1 y$	可分离变量方程
Type III	$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	两线相交	平移坐标 $\begin{cases} x = X + \alpha \\ y = Y + \beta \end{cases}$	先化为 Type I 齐次方程

2.3 一阶线性微分方程 (First-Order Linear ODEs)

一阶线性微分方程是考研和期末考试中的核心重难点，必须熟练掌握其推导过程和最终公式。

1) 分类

• 齐次线性微分方程：

  $\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$

• 非齐次线性微分方程：

  $\frac{dy}{dx} + p(x)y = Q(x)$

2) 齐次微分方程的解法

齐次方程本质是一个可分离变量方程：

$\frac{1}{y} dy = -p(x) dx \implies \ln|y| = -\int p(x)dx + C_1 \implies y = C e^{-\int p(x)dx}$

3) 非齐次微分方程的解法 —— 常数变易法 (Variation of Parameters)

1. 设解的形式： 受齐次解启发，将通解中的常数 $C$ 变易为关于 $x$ 的未知函数 $C(x)$：

   $y = C(x) e^{-\int p(x)dx}$

2. 两边求导：

   $y' = C'(x) e^{-\int p(x)dx} - C(x)p(x) e^{-\int p(x)dx}$

3. 代入原非齐次方程 $y' + p(x)y = Q(x)$：

   $\left[ C'(x) e^{-\int p(x)dx} - C(x)p(x) e^{-\int p(x)dx} \right] + p(x) \left[ C(x) e^{-\int p(x)dx} \right] = Q(x)$

   项互相抵消，简化为：

   $C'(x) e^{-\int p(x)dx} = Q(x) \implies C'(x) = Q(x)e^{\int p(x)dx}$

4. 积分求 $C(x)$：

   $C(x) = \int Q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C$

5. 代回原式，得到通用通解公式（必须牢记！）：

   $y = \left[ \int Q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \right] e^{-\int p(x)dx}$

4) 典型例题

【例题】求解方程 $\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x$。

• 详细求解过程： 这里对照标准形式，有 $p(x) = 2x, Q(x) = 4x$。

  1. 计算辅助积分：

     $\int p(x)dx = \int 2x dx = x^2$

  2. 套用通解公式：

     $y = e^{-x^2} \left[ \int 4x e^{x^2} dx + C \right]$

  3. 计算括号内的不定积分： 令 $t = x^2$，则 $dt = 2xdx$：

     $\int 4x e^{x^2} dx = 2 \int e^t dt = 2e^t = 2e^{x^2}$

  4. 整理化简：

     $y = e^{-x^2} \left[ 2e^{x^2} + C \right] = 2 + Ce^{-x^2}$

• 最终通解：

  $y = 2 + Ce^{-x^2}$

2.4 伯努利方程 (Bernoulli Equations)

1) 标准形式

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$

• 特点：比标准一阶非齐次方程在右端项多乘了一个未知函数的幂次 $y^n$。

2) 求解方法（降阶转化为线性微分方程）

1. 方程两端同乘以 $y^{-n}$：

   $y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)$

2. 引入新替换变量： 令 $z = y^{1-n}$。

3. 求导关系代换：

   $\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} \implies y^{-n}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}$

4. 代入原式化为标准线性方程：

   $\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x) \implies \frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$

   此方程已转变为关于 $z$ 的一阶标准线性微分方程，可用 2.3 节的公式求解，最后由 $y = z^{\frac{1}{1-n}}$ 代回原变量。

⚠️ 注意事项：在变形时，一定要保证一阶导数项 $\frac{dz}{dx}$ 的系数整理为 1。

3) 典型例题

【例题】求微分方程 $xy' + 2y = 3x^3 y^{\frac{4}{3}}$ 的通解。

• 详细求解过程：

  1. 标准化（同除以 $x$，使 $y'$ 系数为 1）：

     $y' + \frac{2}{x}y = 3x^2 y^{\frac{4}{3}}$

     这是一个 $n = \frac{4}{3}$ 的伯努利方程。

  2. 同乘以 $y^{-\frac{4}{3}}$：

     $y^{-\frac{4}{3}}y' + \frac{2}{x}y^{-\frac{1}{3}} = 3x^2$

  3. 变量代换： 令 $z = y^{1 - \frac{4}{3}} = y^{-\frac{1}{3}}$，则有：

     $\frac{dz}{dx} = -\frac{1}{3}y^{-\frac{4}{3}}y' \implies y^{-\frac{4}{3}}y' = -3\frac{dz}{dx}$

  4. 代入整理：

     $-3\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x}z = 3x^2 \implies \frac{dz}{dx} - \frac{2}{3x}z = -x^2$

     此时，关于 $z$ 的线性方程中 $P_z(x) = -\frac{2}{3x}, Q_z(x) = -x^2$。

  5. 计算该线性微分方程的解： 辅助积分：$\int P_z(x)dx = -\frac{2}{3}\ln|x| \implies e^{\int P_z(x)dx} = x^{-\frac{2}{3}}$（此处不妨设 $x > 0$）。

     $z = x^{\frac{2}{3}} \left[ \int -x^2 \cdot x^{-\frac{2}{3}} dx + C \right]$

     $z = x^{\frac{2}{3}} \left[ -\int x^{\frac{4}{3}} dx + C \right]$

     $z = x^{\frac{2}{3}} \left[ -\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C \right] = -\frac{3}{7} x^3 + C x^{\frac{2}{3}}$

  6. 代回原未知量： 由于 $z = y^{-\frac{1}{3}}$，则有：

     $y^{-\frac{1}{3}} = C x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{7} x^3$

• 最终通解：

  $y = \left( C x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{7} x^3 \right)^{-3}$

2.5 全微分方程 (Exact Differential Equations)

1) 标准形式

$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$

2) 全微分条件判定（恰当性判定）

如果存在一个二元函数 $u(x, y)$ 使得其全微分为：

$du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy$

那么，方程的通解就可以直接表达为：

$u(x, y) = C$

由于 $du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy$，所以有关系式：

$P(x,y) = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad Q(x,y) = \frac{\partial u}{\partial y}$

根据偏导数性质（在混合偏导数连续时，求导顺序可交换）：

$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \implies \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

• 结论：方程为全微分方程的充要条件是：

  $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

3) 求解方法（偏积分法 / 偏导数还原法）

1. 对 $P(x,y)$ 关于 $x$ 进行偏积分（将 $y$ 暂时看作常数）：

   $u(x, y) = \int P(x, y)dx + \psi(y)$

   其中 $\psi(y)$ 是仅与 $y$ 相关的待定积分项。

2. 利用对 $y$ 的偏导数求出 $\psi(y)$：

   $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \int P(x, y)dx \right) + \psi'(y) = Q(x, y)$

   由此可解得 $\psi'(y)$，并积分求得 $\psi(y)$。

3. 写出通解：

   $u(x, y) = C$

4) 典型例题

【例题】求解方程 $xy \cdot dx + \left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{y}\right)dy = 0$。

• 详细求解过程：

  1. 全微分判定：

     $P(x, y) = xy \implies \frac{\partial P}{\partial y} = x$

     $Q(x, y) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y} \implies \frac{\partial Q}{\partial x} = x$

     因为 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，故此方程为全微分方程。

  2. 偏积分求解原函数 $u(x,y)$：

     $u(x, y) = \int P(x, y) dx + \psi(y) = \int xy dx + \psi(y) = \frac{1}{2}x^2y + \psi(y)$

  3. 利用 $Q(x,y)$ 确定 $\psi(y)$：

     $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2}x^2 + \psi'(y)$

     令其等于 $Q(x, y)$：

     $\frac{1}{2}x^2 + \psi'(y) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y} \implies \psi'(y) = \frac{1}{y}$

     积分得到：

     $\psi(y) = \ln|y|$

  4. 合成通解：

     $u(x, y) = \frac{1}{2}x^2y + \ln|y|$

• 最终通解：

  $\frac{1}{2}x^2y + \ln|y| = C$