第七章：微分方程 (Differential Equations)

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微分方程的作用在于：当我们已知一个函数的导数关系（变化规律）时，通过建立方程来求出原函数 $y(x)$。

💡 引入实例：牛顿冷却定律

问题描述：室温 $25^\circ C$，在 $t=0$ 时，水温 $T=70^\circ C$。求水温 $T$ 随时间 $t$ 的变化规律 $T(t)$。 建立方程：

$\frac{dT}{dt} = -k(T - 25)$

注：这里我们已知变化率（导数），目的是求出 $T(t)$ 的具体表达式。

一、 一阶微分方程 (First-Order DE)

1. 可分离变量法 (Separation of Variables)

适用形式：$y' = f(x)g(y)$

SOP (标准解题步骤)：

1. 将 $y'$ 写成 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将含 $y$ 的项移到等号一边，含 $x$ 的项移到另一边。
3. 两边同时积分。

例题：$y' = 2xy$

• 解：$\frac{dy}{dx} = 2xy \implies \frac{1}{y}dy = 2xdx$
• 两边积分：$\int \frac{1}{y}dy = \int 2xdx \implies \ln|y| = x^2 + C$
• 结果：$y = Ce^{x^2}$

2. 齐次方程 (Homogeneous Equations)

特征：方程中每一项的变量次数（指数和）相同。

解法：令 $u = \frac{y}{x}$，即 $y = ux \implies \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。

例题：$(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$

• 观察：各项均为 2 次。
• 变形：$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
• 代入 $u$：$u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}$
• 分离变量：$u du = \frac{1}{x} dx \implies \frac{1}{2}u^2 = \ln|x| + C$
• 还原：$\frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + C$

3. 一阶线性微分方程 (Linear DE)

标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

• 若 $Q(x) = 0$：称为齐次线性方程（可用分离变量法）。
• 若 $Q(x) \neq 0$：称为非齐次线性方程。

例题：$(x^2 - 1)dy + (2xy - \cos x)dx = 0$

• Step 1: 化为标准型

  $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2-1}y = \frac{\cos x}{x^2-1}$

• Step 2: 解对应的齐次方程（分离变量） $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2-1}y = 0 \implies y_h = \frac{C}{x^2-1}$

• Step 3: 常数变易法（代回原式） 设 $y = \frac{C(x)}{x^2-1}$，求导代入得 $C'(x) = \cos x$ 则 $C(x) = \sin x + C$

• 最终结果：$y = \frac{\sin x + C}{x^2-1}$

二、 二阶可降阶微分方程 (Reducible Second-Order DE)

针对无法直接求解的二阶方程，通过变量代换降为一阶。

类型	形式	SOP (解题步骤)
类型 ①	$y'' = f(x)$	直接连续积分两次。
类型 ②	$y'' = f(x, y')$ (缺 $y$)	令 $y' = p$，则 $y'' = \frac{dp}{dx}$。
类型 ③	$y'' = f(y, y')$ (缺 $x$)	令 $y' = p$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$。

例题（类型 ①）：$y'' = \sin x$

• $y' = \int \sin x dx = -\cos x + C_1$
• $y = \int (-\cos x + C_1) dx = -\sin x + C_1x + C_2$

例题（类型 ②）：$(1+x^2)y'' = 2xy'$

• 设 $y' = p$，则 $(1+x^2)\frac{dp}{dx} = 2xp \implies \frac{dp}{p} = \frac{2x}{1+x^2}dx$
• 积分得 $\ln|p| = \ln(1+x^2) + C \implies p = C_1(1+x^2)$
• 还原 $y' = C_1(1+x^2) \implies y = C_1(x + \frac{1}{3}x^3) + C_2$

例题（类型 ③）：$2yy'' + (y')^2 = 0$

• 设 $y'=p, y''=p\frac{dp}{dy}$
• 代入：$2yp\frac{dp}{dy} + p^2 = 0 \implies 2y\frac{dp}{dy} = -p$
• 分离变量积分求解。

三、 二阶常系数线性微分方程

1. 齐次方程：$y'' + py' + qy = 0$

通过特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根 $\Delta = p^2 - 4q$ 来确定解的形式：

特征根 $r_1, r_2$ 的情况	通解 $y$ 的形式
有两个不相等的实根 $r_1 \neq r_2$	$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
有两个相等的实根 $r_1 = r_2 = r$	$y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$
有一对共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$	$y = e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)$

2. 非齐次方程示例

例题：$y'' - 4y' + 4y = 2x$

• 先解齐次部分：$y'' - 4y' + 4y = 0$
• 特征方程：$r^2 - 4r + 4 = 0 \implies (r-2)^2 = 0$
• 特征根：$r_1 = r_2 = 2$（重根情况）
• 齐次通解：$y_h = (C_1 + C_2x)e^{2x}$
• 注：后续需根据 $f(x)=2x$ 设特解 $y^*$ 进一步求解。