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概率论-CH1-样本空间、事件的关系与运算

概率论-CH1-样本空间、事件的关系与运算，待补充摘要。

May 3, 2026 修考 6 min read

第一章：样本空间、事件的关系与运算

概率论研究的是随机现象的统计规律性。虽然单个随机事件的发生具有偶然性，但大量重复试验中事件的发生往往呈现出某种确定性的规律。

定义：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间，通常用 $S$ 或 $\Omega$ 表示。

定义：样本空间 $S$ 的子集称为随机事件，简称事件。

当且仅当该子集中的某一个样本点出现时，称该事件发生。
特殊事件：
- 必然事件：样本空间 $S$ 本身，每次试验一定发生。
- 不可能事件：空集 $\emptyset$ ，每次试验都不可能发生。

事件的运算本质上是集合的运算。通过集合的语言，我们可以精确描述概率命题。

如果事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，则称 $B$ 包含 $A$ ，记作 $A \subset B$ 。

记作 $A \cup B$ 或 $A + B$ 。

记作 $A \cap B$ 或 $AB$ 。

记作 $A^c$ 或 $\bar{A}$ 。

记作 $A - B$ 。

如果 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，即 $A \cap B = \emptyset$ ，则称 $A$ 与 $B$ 互斥。

设 $A, B, C$ 为事件，满足以下运算规则：

交换律： $A \cup B = B \cup A$ ； $A \cap B = B \cap A$
结合律： $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ； $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律：
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
德·摩根律 (De Morgan’s Laws)：
- $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ （并的补等于补的交）
- $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ （交的补等于补的并）

题目描述：某射手向一个目标连续射击三次。

任务：用 $A_i$ 表示事件 $B_j$ 。

解析：

三次均未命中 ( $B_0$ )：即第一次没中、第二次没中且第三次也没中。

$B_0 = \bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \bar{A}_3$

根据德·摩根律，也可以表示为：

$B_0 = \overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}$

（注：这表示“至少命中一次”的对立事件）。
恰好命中三次 ( $B_3$ )：即三次全部命中。

$B_3 = A_1 \cap A_2 \cap A_3$
恰好命中两次 ( $B_2$ )：分为三种情况：中12、中13、中23。

$B_2 = (A_1 \cap A_2 \cap \bar{A}_3) \cup (A_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) \cup (\bar{A}_1 \cap A_2 \cap A_3)$
恰好命中一次 ( $B_1$ )：分为三种情况：仅中第1次、仅中第2次、仅中第3次。

$B_1 = (A_1 \cap \bar{A}_2 \cap \bar{A}_3) \cup (\bar{A}_1 \cap A_2 \cap \bar{A}_3) \cup (\bar{A}_1 \bar{A}_2 A_3)$

延伸思考：