第二章：古典概型的计算

古典概型的计算

古典概型是概率论中最基础的模型，主要用于计算在有限且等可能情况下的事件可能性。

1. 古典概型的定义与计算公式

定义

如果一个随机试验满足以下两个条件，则称为古典概型：

1. 有限性：样本空间 $S$ 中的基本事件个数是有限的。
2. 等可能性：每个基本事件发生的可能性都是相等的（例如：投掷均匀的硬币或骰子）。

基本计算公式

对于事件 $A$，其概率 $P(A)$ 的计算公式为：

$P(A) = \frac{\#A}{\#S} = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的基本事件数}}{\text{样本空间 } S \text{ 包含的基本事件总数}}$

2. 计算方法：排列组合的应用

在古典概型中，确定 $\#A$ 和 $\#S$ 通常需要使用排列组合知识。

示例 1：掷骰子

问题：掷一枚均匀的骰子，求点数为奇数的概率 $A$。

• 样本空间 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $\#S = 6$
• 事件 $A = \{1, 3, 5\}$, $\#A = 3$
• 概率 $P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$

示例 2：四位数概率问题

设随机抽取一个四位数字字符串（数字可重复，范围 0000-9999），总数 $\#S = 10^4 = 10000$。

1. 事件 $A_1$：四个数字全相同
   • 符合条件的数：0000, 1111, …, 9999（共 10 个）
   • $P(A_1) = \frac{10}{10^4} = 0.001$
2. 事件 $A_2$：四个数字全不同
   • 符合条件的数：从 10 个数字中选 4 个进行排列，$A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$
   • $P(A_2) = \frac{5040}{10000} = 0.504$
3. 事件 $A_3$：恰有两位数字相同（一对相同，其余两位各不相同）
   • 计算逻辑：先选出相同的那对数字（10 种），再选出它们的位置（$C_4^2$），剩下的两个位置从余下的 9 个数字中选出两个进行排列（$A_9^2$）。
   • $\#A_3 = 10 \times C_4^2 \times (9 \times 8) = 10 \times 6 \times 72 = 4320$
   • $P(A_3) = \frac{4320}{10000} = 0.432$ 注：原笔记中计算为 $0.0486$ 或 $0.486$，此处根据“恰有一对相同”的标准模型进行了修正。

3. 古典概率的性质

1. 范围：$0 \le P(A) \le 1$

   • $P(A) = 0$ 表示不可能事件 $\emptyset$。
   • $P(A) = 1$ 表示必然事件 $S$。

2. 特殊值：$P(\emptyset) = 0, P(S) = 1$。

3. 加法法则（互不相容）： 若 $A \cap B = \emptyset$（$A$ 与 $B$ 互斥），则：

   $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

4. 对立事件（补集原则）：

   $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

   关键字提示：题目中出现“至少”时，通常考虑从相反方向求解。

示例：生日问题

问题：28 个学生中，至少有 2 人生日相同的概率。

• 正向考虑：直接计算 2 人相同、3 人相同…极其复杂。

• 反向考虑：先求“28 人生日全不相同”的概率 $P$。

  $P = \frac{A_{365}^{28}}{365^{28}}$

• 结果：$P(\text{至少2人相同}) = 1 - P$。

4. 广义加法公式（非互不相容）

若事件 $A$ 与 $B$ 可能同时发生（即 $A \cap B \neq \emptyset$），则：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

综合例题：两位数的整除概率

背景：从两位数（10-99）中随机选一个数。

• 总数 $\#S = 99 - 10 + 1 = 90$。

问题 (1)：求该数能被 2 或被 3 整除的概率。

• 设 $A$ 为能被 2 整除：$10, 12, \dots, 98$，共 $45$ 个。$P(A) = \frac{45}{90}$

• 设 $B$ 为能被 3 整除：$12, 15, \dots, 99$，共 $30$ 个。$P(B) = \frac{30}{90}$

• 设 $AB$ 为能被 2 且被 3 整除（即能被 6 整除）：$12, 18, \dots, 96$，共 $15$ 个。$P(AB) = \frac{15}{90}$

• 计算：

  $P(A \cup B) = \frac{45}{90} + \frac{30}{90} - \frac{15}{90} = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$

问题 (2)：求该数既不能被 2 整除，也不能被 3 整除的概率。

• 即求 $P(\bar{A} \cap \bar{B})$。

• 根据德·摩根定律：$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$。

• 计算：

  $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$