第六章 无穷级数

一、 为什么研究级数？

芝诺悖论（阿基里斯追乌龟）： 无限项求和一定不收敛吗？ 级数的研究本质上是讨论无限个数值相加的收敛性问题，将复杂的函数表达为简单的幂函数之和。

二、 正项级数 (Positive Series)

正项级数指每一项 $U_n \ge 0$ 的级数。

1. 三大基础级数（判断收敛的标尺）

1. 调和级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$
   • 结论： 发散。即使 $\frac{1}{n} \to 0$，其和依然趋向无穷。
2. P-级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
   • 当 $p > 1$ 时，收敛。
   • 当 $p \le 1$ 时，发散。
   • 证明思路（积分判别法）： 将离散问题转化为连续问题，考查 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 的敛散性。
3. 等比级数（几何级数）： $\sum_{n=0}^{\infty} aq^n$
   • 当 $|q| < 1$ 时，收敛。
   • 当 $|q| \ge 1$ 时，发散。

2. 常用审敛法

① 极限审敛法 (Limit Comparison Test)

设 $\lim_{n\to\infty} n^p U_n = l$ ($0 \le l < +\infty$)：

• 若取 $p > 1$ 且 $l$ 存在，则 $\sum U_n$ 收敛。
• 技巧： 利用等价无穷小寻找 $p$。

例题： 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n+1} (1 - \cos \frac{1}{n})$ 的敛散性。

解： 当 $n \to \infty$ 时，利用等价无穷小 $1 - \cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}$。

原级数项 $U_n \sim \sqrt{n} \cdot \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2n^{3/2}}$。

取 $p = \frac{3}{2}$，此时 $p > 1$，故级数收敛。

② 比值审敛法 (Ratio Test / d’Alembert Test)

计算 $\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}$：

• $\rho < 1$ 收敛；$\rho > 1$ 发散；$\rho = 1$ 失效（需换方法）。
• 适用范围： 含有阶乘 $n!$ 或指数 $a^n$ 的项。

例题： 求 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^n \sin \frac{\pi}{4^n}$ 的敛散性。

解： $\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1} \sin \frac{\pi}{4^{n+1}}}{3^n \sin \frac{\pi}{4^n}} = \lim_{n\to\infty} 3 \cdot \frac{\frac{\pi}{4^{n+1}}}{\frac{\pi}{4^n}} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1$。

故级数收敛。

③ 比较审敛法

利用已知敛散性的级数（如 P-级数）进行放大或缩小比较。

• 掌握尺度： $n^n \gg n! \gg a^n \gg n^k \gg \ln n \gg 1$

三、 交错级数与绝对收敛

1. 莱布尼茨审敛法 (Leibniz Test)

对于交错级数 $\sum (-1)^{n-1} U_n$ ($U_n > 0$)，若满足：

1. $U_n$ 单调不增：$U_{n+1} \le U_n$
2. 极限为零：$\lim_{n\to\infty} U_n = 0$ 则级数收敛。

2. 绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛： $\sum |U_n|$ 收敛。
• 条件收敛： $\sum U_n$ 收敛，但 $\sum |U_n|$ 发散。

例题： 判断 $\frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 4} - \dots$

解： >

1. 原级数是交错级数，满足莱布尼茨条件，故收敛。

2. 考察绝对值级数 $\sum \frac{1}{\ln n}$。由于 $\ln n < n$，则 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$。

3. 因为 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，所以 $\sum \frac{1}{\ln n}$ 发散。

结论： 原级数为条件收敛。

四、 幂级数 (Power Series)

1. 收敛半径与区间

幂级数形式为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$。

• 收敛半径 $R$： $R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
• 收敛区间： $(-R, R)$。
• 注意： 端点 $x = \pm R$ 处必须单独带入原式判断敛散性。

例题： 求 $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$ 的收敛域。

解： 系数 $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$。 $R = \lim_{n\to\infty} | \frac{1/n}{1/(n+1)} | = 1$。

• 当 $x = 1$ 时，级数为 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \dots$（交错调和级数），收敛。
• 当 $x = -1$ 时，级数为 $-1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \dots$（负调和级数），发散。
• 结论： 收敛域为 $(-1, 1]$。

五、 函数展开与和函数

1. 常见泰勒展开式 (Taylor Series)

函数 $f(x)$	展开式	收敛区间
$e^x$	$1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$	$(-\infty, +\infty)$
$\sin x$	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots$	$(-\infty, +\infty)$
$\cos x$	$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots$	$(-\infty, +\infty)$
$\frac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots$	$(-1, 1)$
$\ln(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \dots$	$(-1, 1]$

2. 求和函数例题

例1： 求 $\sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$ 的和函数。

解： 这是以 $2x$ 为公比的等比级数。

$S_n = \frac{1}{1 - 2x}$，收敛条件为 $|2x| < 1$，即 $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。

例2： 求 $\sum_{n=0}^{\infty} (1+n)x^n$ 的和函数。

解： 观察到级数为 $1 + 2x + 3x^2 + \dots$。

记 $g(x) = \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$。

对 $g(x)$ 求导：$g'(x) = \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \frac{1}{(1-x)^2}$。

恰好有 $g'(x) = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$。

结论： 和函数为 $f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$，收敛域为 $(-1, 1)$。

六、 记忆技巧与拓展

1. 奇偶性： 奇函数（如 $\sin x$）展开式仅含奇次项；偶函数（如 $\cos x$）展开式仅含偶次项。
2. 拓展性： 已知 $\frac{1}{1-x}$，将 $x$ 换成 $-x$ 即可得 $\frac{1}{1+x}$ 的展开式。
3. 导数与原函数关系： - $\cos x = (\sin x)'$
   • $\frac{1}{1+x} = [\ln(1+x)]'$ 利用逐项求导或逐项积分可以方便地求出复杂级数的和函数。