Mika Field Notes

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模拟电路-CH2.4-相减器

模拟电路-CH2.4-相减器，待补充摘要。

June 6, 2026 修考 22 min read

2.3相减器（1）_哔哩哔哩_bilibili

2.4 相减器（2）_哔哩哔哩_bilibili

2.4 相减器（3）_哔哩哔哩_bilibili

模拟电子技术基础：相减器与仪表放大器核心笔记

一、 基础相减器（Basic Subtractor）

1.1 定义与数学表达

相减器（又称减法器）是一种能够完成将两路输入信号相减并进行一定比例放大的电路。其理想的输出数学形式为：

uo=K1u1−K2u2u_o = K_1 u_1 - K_2 u_2

其中，u1u_1 为同相输入信号，u2u_2 为反相输入信号，K1K_1 和 K2K_2 为对应的增益系数。

1.2 简易相减器电路（无同相分压电阻）

若直接将同相比例放大器与反比例放大器进行简单合成，其电路形式如下：

注：此处 u2u_2 通过电阻 R2R_2 接入运放反相端，反馈电阻为 R3R_3；u1u_1 直接接入运放同相端，无对地分压电阻。

1.2.1 利用叠加定理推导输出电压

根据叠加原理，我们可以分别令一个输入信号作用，而将另一个输入信号视作理想电压源接地（短路）：

  1. 当 u1u_1 单独作用时（u2u_2 接地）： 此时电路等效为一个标准的同相比例放大器，其输入电压直接作用在同相端 up=u1u_p = u_1。

    uo′=(1+R3R2)u1u_o' = \left(1 + \frac{R_3}{R_2}\right) u_1

  2. 当 u2u_2 单独作用时（u1u_1 接地）： 此时电路等效为一个标准的反比例放大器。

    uo′′=−R3R2u2u_o'' = -\frac{R_3}{R_2} u_2

  3. 两路信号共同作用时（叠加）：

    uo=uo′+uo′′=(1+R3R2)u1−R3R2u2u_o = u_o' + u_o'' = \left(1 + \frac{R_3}{R_2}\right) u_1 - \frac{R_3}{R_2} u_2

1.2.2 简易相减器的固有缺点

对照理想公式 uo=K1u1−K2u2u_o = K_1 u_1 - K_2 u_2，可以得出：

K1=1+R3R2,K2=R3R2K_1 = 1 + \frac{R_3}{R_2}, \quad K_2 = \frac{R_3}{R_2}

  • 关系受限：K1=K2+1K_1 = K_2 + 1，即 K1>K2K_1 > K_2。
  • 无法实现对称减法：在工程实际中，我们最常需要的是纯粹的“差模放大”，即 K1=K2K_1 = K_2（此时 uo∝(u1−u2)u_o \propto (u_1 - u_2)）。该电路在结构上无法直接令 K1=K2K_1 = K_2。

二、 基本相减器的改进——引入同相分压电阻

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为了克服简易相减器 K1>K2K_1 > K_2 的缺陷，必须对同相输入信号 u1u_1 进行衰减（分压）。我们在同相端引入一个对地电阻 R4R_4，并使 u1u_1 通过电阻 R1R_1 接入同相端。

2.1 改进型相减器电路拓扑

  • 反相输入端：输入 u2u_2 通过电阻 R2R_2 接入，反馈电阻为 R3R_3。
  • 同相输入端：输入 u1u_1 通过电阻 R1R_1 接入，同相端对地接有分压电阻 R4R_4。

2.2 推导与对称性条件

  1. 当 u1u_1 单独作用时（u2u_2 接地）： 同相端电位 upu_p 为对 u1u_1 的分压：

    up=R4R1+R4u1u_p = \frac{R_4}{R_1 + R_4} u_1

    此时输出电压为：

    uo′=(1+R3R2)up=(R2+R3R2)(R4R1+R4)u1u_o' = \left(1 + \frac{R_3}{R_2}\right) u_p = \left(\frac{R_2 + R_3}{R_2}\right) \left(\frac{R_4}{R_1 + R_4}\right) u_1

  2. 当 u2u_2 单独作用时（u1u_1 接地，此时 up=0u_p = 0）：

    uo′′=−R3R2u2u_o'' = -\frac{R_3}{R_2} u_2

  3. 叠加后的总输出电压：

    uo=(R2+R3R2)(R4R1+R4)u1−R3R2u2u_o = \left(\frac{R_2 + R_3}{R_2}\right) \left(\frac{R_4}{R_1 + R_4}\right) u_1 - \frac{R_3}{R_2} u_2

【实现 K1=K2K_1 = K_2 的数学推导】

若要使两输入端的增益系数完全相等（即消去共模电压成分，只放大差模信号），须满足：

(R2+R3R2)(R4R1+R4)=R3R2\left(\frac{R_2 + R_3}{R_2}\right) \left(\frac{R_4}{R_1 + R_4}\right) = \frac{R_3}{R_2}

两边同乘以 R2R_2：

(R2+R3)R4R1+R4=R3(R_2 + R_3) \frac{R_4}{R_1 + R_4} = R_3

(R2+R3)R4=R3(R1+R4)(R_2 + R_3) R_4 = R_3 (R_1 + R_4)

R2R4+R3R4=R3R1+R3R4R_2 R_4 + R_3 R_4 = R_3 R_1 + R_3 R_4

化简可得：

R2R4=R3R1  ⟹  R3R2=R4R1R_2 R_4 = R_3 R_1 \implies \frac{R_3}{R_2} = \frac{R_4}{R_1}

【常用设计假设】

在实际工程设计中，为使电路结构完全对称，我们通常令：

R1=R2且R3=R4R_1 = R_2 \quad \text{且} \quad R_3 = R_4

此时，输出电压公式可以极大简化为经典的差模放大关系式：

uo=R3R2(u1−u2)u_o = \frac{R_3}{R_2} (u_1 - u_2)

三、 基本相减器的三大经典应用

3.1 电平搬移（Level Shifting）

  • 原理：在单电源供电系统（如只有 5V5\text{V} 和 GND\text{GND}）中，交流信号常重叠在某直流偏置上（如 2.5V2.5\text{V}）。为了便于后续 ADC 采样或送入双极性系统，需要将该直流电平扣除。
  • 实现方法：令 u1u_1 为带直流偏置的信号，u2u_2 接一固定的直流参考电压。通过相减，可将信号“垂直搬移”到零电平附近。

3.2 抑制共模干扰（差分传输）

  • 场景：工业现场中，锅炉房与控制室相距数百米。如果使用单线传输信号，长导线如同天线一般，极易耦合空间中的电磁干扰。

  • 双绞线 + 差分传输方案：

    • 使用两根长导线相互缠绕（双绞线）传输。

    • 空间干扰在两根线上产生的电压大小相等、方向相同，称为共模干扰信号 (ucu_c)。

    • 在接收端接入相减器：

      uo=K(u1−u2)=K[(usig1+uc)−(usig2+uc)]=K(usig1−usig2)u_o = K (u_1 - u_2) = K \left[(u_{sig1} + u_c) - (u_{sig2} + u_c)\right] = K (u_{sig1} - u_{sig2})

    • 完美抵消了共模干扰 ucu_c，只放大了有用的差模信号。

3.3 桥式传感器测量（如电子体重秤）

  • 电桥原理：由四个电阻组成惠斯通电桥（Wheatstone Bridge）。静态无压力时，电桥平衡，输出差分电压 u1−u2=0u_1 - u_2 = 0。
  • 测量过程：当人站上体重秤时，压力应变片阻值发生微弱变化，导致电桥失衡，产生一个与体重成正比的微弱差模电位差 Δu=u1−u2\Delta u = u_1 - u_2。
  • 放大输出：将差分电压引入相减器，进行高精度放大后，再送入 A/D 转换器处理。

⚠️ 桥式测量中的“工程隐患”——阻抗匹配

在分析相减器时，我们默认 u1u_1 和 u2u_2 是理想电压源（内阻为零）。但实际的桥式传感器等效内阻较大（如戴维南等效电阻可达 10kΩ10\text{k}\Omega 甚至更高）。

若直接接入输入阻抗有限的相减器，传感器的等效内阻将与相减器的输入电阻 R1,R2R_1, R_2 串联分压，导致：

  1. 增益严重衰减（原本应放大 1 倍，可能衰减至仅剩 10%）。
  2. 对称性被彻底破坏，从而导致共模抑制比急剧下降，无法有效抑制温漂和干扰。
  3. 工程准则：信号源的输出内阻必须远远小于相减器的输入电阻（至少小 10 倍以上，最好 100 倍以上），方能近似忽略其影响。

四、 基本相减器的三大固有缺陷

虽然改进型四电阻相减器应用广泛，但在高精密仪器仪表设计中，它暴露出了以下三个无法克服的致命缺点：

  1. 输入电阻有限，且非完全对称 从同相端看进去的输入阻抗为 R1+R4R_1 + R_4；而从反相端看进去的输入阻抗受虚地影响，约为 R2R_2。由于输入阻抗有限且不对称，它对前级信号源的输出内阻要求极高（要求极小且高度对称）。
  2. 高精度电阻匹配极难（电阻匹配难） 要使共模抑制比（CMRR）达到较高水准，电阻必须严格满足 R3R2=R4R1\frac{R_3}{R_2} = \frac{R_4}{R_1}。
    • 市场上常用的 E24 系列电阻（按 1012410^{\frac{1}{24}} 比例离散分布）标称误差通常为 ±5%\pm 5\%。
    • 即使选用价格稍贵的 ±1%\pm 1\% 金属膜电阻，在随机搭配下，两边阻值的微小差异也会导致减不干净，产生严重共模误差。要想获得高精度，必须采用人工高精度“筛选法”，或定制昂贵的千分之一、万分之一误差电阻。
  3. 难以在维持对称的前提下调节增益（调节增益难） 根据公式 uo=R3R2(u1−u2)u_o = \frac{R_3}{R_2}(u_1 - u_2)，要想改变电路的放大倍数，必须同时、等比例地改变两个电阻（如同时调节 R3R_3 和 R4R_4，或同时调节 R1R_1 和 R2R_2）。由于双联电位器存在同步步进误差，这在工程设计中是极难实现的。

五、 核心攻坚：从跟随器到三运放仪表放大器（Instrumentation Amplifier）

针对您的手写笔记疑问，我们在本章进行深度的可视化与公式推导剖析。

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5.1 攻坚疑问 1：为什么优化中不直接用跟随器，而是要修改为同相比例放大器？

思考路径 1：如果我们只用“跟随器 + 相减器”

为了解决“输入阻抗有限”的问题，我们可以在基本相减器的两个输入端前分别加一个电压跟随器：

  • 效果：前级跟随器的输入阻抗为无穷大 (∞\infty)，输出阻抗为 00，完美解决了前级信号源阻抗匹配的问题。
  • 新的瓶颈：
    1. 跟随器的电压放大倍数固定为 11。
    2. 整个电路的电压放大任务全部落在了第二级的基本相减器身上。
    3. 要想获得高增益（例如 100 倍），相减器的电阻比值 R3R2\frac{R_3}{R_2} 必须达到 100。这依然无法避开“电阻匹配难”和“无法用单电阻方便地调节增益”的瓶颈。

思考路径 2：升级为“同相比例放大器 + 相减器”

既然跟随器增益为 11 太小，那我们将其改为两个同相比例放大器（第一级放大，第二级作减法）。 但是，如果将两个同相比例放大器独立接地，要调节增益依然需要对称调节两个反馈电阻。

终极魔法：将两个输入运放的负反馈端用一个电阻 RGR_G 跨接！

这就是三运放仪表放大器的经典前级结构：

  • 这样做带来的三大神奇蜕变：
    1. 输入阻抗依旧无穷大：信号仍然直接从运放的同相输入端（+++）接入。
    2. 差模信号得到高倍数放大。
    3. 最关键的突破——单电阻控制增益：通过将两个通道的负反馈回路融合在一起，只需调节唯一一个跨接电阻 RGR_G，即可在完全对称的状态下改变整个电路的差模增益，彻底避免了双联调节的噩梦！

5.2 攻坚疑问 2：Δu=I(2RF+RG)\Delta u = I(2R_F + R_G) 这一步数学推导的可视化拆解

我们一步一步，极为直观地来推导这个核心公式。

📌 准备工作：

设输入级的两只运放分别为 A1A_1（上方）和 A2A_2（下方）。

  • A1A_1 的同相端输入电压为 u1u_1，反相端反馈电阻为 RFR_F。
  • A2A_2 的同相端输入电压为 u2u_2，反相端反馈电阻也为 RFR_F。
  • A1A_1 与 A2A_2 的反相端之间跨接电阻为 RGR_G。
  • A1A_1 的输出端电压为 uo1u_{o1}，A2A_2 的输出端电压为 uo2u_{o2}。两者的差值为第一级的输出：Δu=uo1−uo2\Delta u = u_{o1} - u_{o2}。

📌 步骤一：虚短（Virtual Short）定理的魔力

由于理想运放处于线性工作区，具有“虚短”特性，即运放的同相端电压与反相端电压几乎相等：

  • 对于 A1A_1：其反相端电位 un1=up1=u1u_{n1} = u_{p1} = u_1
  • 对于 A2A_2：其反相端电位 un2=up2=u2u_{n2} = u_{p2} = u_2

这意味着：电阻 RGR_G 两端的电位被死死地锁定在了输入电压 u1u_1 和 u2u_2 上！

📌 步骤二：求出流经 RGR_G 的电流 II

既然知道了电阻 RGR_G 两端的电压，根据欧姆定律，流过 RGR_G 的电流 II（假设方向自上而下，即 u1>u2u_1 > u_2）为：

I=un1−un2RG=u1−u2RGI = \frac{u_{n1} - u_{n2}}{R_G} = \frac{u_1 - u_2}{R_G}

📌 步骤三：利用“虚断（Virtual Break）”追踪电流的流向

根据运放的“虚断”特性，运放的反相输入端流入（或流出）的电流几乎为 00。 这是一个非常关键的物理画面：

  • 流过电阻 RGR_G 的电流 II，既不能从 A1A_1 的反相输入端流出来，也不能流进 A2A_2 的反相输入端。
  • 因此，这股电流 II 必须且只能像一条流动的河水一样，从 A1A_1 的输出端 uo1u_{o1} 出发，穿过上方的反馈电阻 RFR_F，穿过跨接电阻 RGR_G，再穿过下方的反馈电阻 RFR_F，最后流入 A2A_2 的输出端 uo2u_{o2}。

如下图中的红色箭头所示：

📌 步骤四：一气呵成计算电位差 Δu\Delta u

由于电流 II 在 RF−RG−RFR_F - R_G - R_F 这条串联路径上畅通无阻，从 uo1u_{o1} 到 uo2u_{o2} 的总电压降，就是这三个串联电阻上的电压降之和：

Δu=uo1−uo2=I⋅RF+I⋅RG+I⋅RF\Delta u = u_{o1} - u_{o2} = I \cdot R_F + I \cdot R_G + I \cdot R_F

Δu=I(2RF+RG)\Delta u = I (2R_F + R_G)

（这就是您笔记中没看懂的那一步，它其实本质就是一个简单的三个电阻串联分压！）

📌 步骤五：代入电流 II，推导出差模增益

将 I=u1−u2RGI = \frac{u_1 - u_2}{R_G} 代入上式：

Δu=u1−u2RG(2RF+RG)=(2RF+RGRG)(u1−u2)\Delta u = \frac{u_1 - u_2}{R_G} (2R_F + R_G) = \left(\frac{2R_F + R_G}{R_G}\right) (u_1 - u_2)

Δu=(1+2RFRG)(u1−u2)\Delta u = \left(1 + \frac{2R_F}{R_G}\right) (u_1 - u_2)

📌 步骤六：配合第二级减法器

在仪表放大器的第二级，接入一个阻值全为 RR、增益为 11 的对称基本减法器。 最终的输出电压为：

uo=uo1−uo2=Δu=(1+2RFRG)(u1−u2)u_o = u_{o1} - u_{o2} = \Delta u = \left(1 + \frac{2R_F}{R_G}\right) (u_1 - u_2)

整个电路的总电压增益 AdA_d 为：

Ad=1+2RFRGA_d = 1 + \frac{2R_F}{R_G}

5.3 仪表放大器核心四大优势总结

  1. 输入阻抗趋于无穷大：消除了对信号源内阻的严苛要求。
  2. 极高的共模抑制比（CMRR）：输入级对共模信号的增益仅为 11，而对差模信号的增益为 1+2RFRG1 + \frac{2R_F}{R_G}。因此差模信号被极大放大，而共模噪声被极大地相对压制。
  3. 允许信号源内阻不对称。
  4. 单电阻可调增益：调节 RGR_G 单个电阻，就可以精准改变放大倍数，极易数字化或手动旋钮调节。

六、 补充知识：工程实践中的核心元器件

6.1 常用集成仪表放大器芯片

在实际电路开发中，工程师很少用三个分立运放自己去搭建仪表放大器，因为芯片内部硅片制造工艺可以利用激光微调技术，将内部电阻的匹配精度做到 10 万分之一以上。 常见的高精密集成仪表放大器芯片有：

  • 德州仪器 (TI)：INA118、INA124、INA128 等。
  • 亚德诺 (ADI)：AD620（极受工程师欢迎的经典低功耗仪表放芯片）。
  • 共模抑制比参数：这些集成芯片的共模抑制比通常能轻易达到 100dB100\text{dB} 以上，有些高精密型号甚至可达 140dB140\text{dB}。
  • 价格对比：普通运放价格仅几毛钱，而精密集成仪表放大器由于激光微调和高匹配工艺，单颗价格往往在十几元到几十元人民币。

6.2 工业级电阻 E24 系列与等比分配规律

视频中提到的 E24 系列电阻是工程常用标准，它是将 1 到 10 之间的数值按等比级数开 24 次方进行离散化：

  • 公比 q=10124≈1.10q = 10^{\frac{1}{24}} \approx 1.10
  • E24 系列允许的标准阻值基数包括：1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.7, 3.0, 3.3, 3.6, 3.9, 4.3, 4.7, 5.1, 5.6, 6.2, 6.8, 7.5, 8.2, 9.1。
  • 购买非标阻值需要定制，代价高昂。因此设计电路时应尽量凑整至 E24 标称阻值。

七、 精选例题与工程计算（带解析过程）

📝 例题 1：基本相减器的匹配与增益设计

【题目】 试使用一个集成运放设计一个改进型相减器电路，要求实现输出关系式 uo=10(u1−u2)u_o = 10(u_1 - u_2)。

  1. 给出电路中电阻 R1,R2,R3,R4R_1, R_2, R_3, R_4 的合理阻值（要求属于 E24 系列）。
  2. 计算此时相减器同相端和反相端的输入阻抗。

【解答】

  1. 电阻设计： 要实现 uo=10(u1−u2)u_o = 10(u_1 - u_2)，且令结构完全对称，需要满足：

    R3R2=R4R1=10且R1=R2,R3=R4\frac{R_3}{R_2} = \frac{R_4}{R_1} = 10 \quad \text{且} \quad R_1 = R_2, R_3 = R_4

    为了防止电阻值太小增加运放输出负载，或者太大引入过大的热噪声，我们通常将电阻选择在 1kΩ∼100kΩ1\text{k}\Omega \sim 100\text{k}\Omega 范围。

    • 选择 R1=R2=10kΩR_1 = R_2 = 10\text{k}\Omega (属于 E24 系列标称值)
    • 相应地选择 R3=R4=10×10kΩ=100kΩR_3 = R_4 = 10 \times 10\text{k}\Omega = 100\text{k}\Omega (属于 E24 系列标称值)

    最终设计阻值：R1=R2=10kΩR_1 = R_2 = 10\text{k}\Omega，R3=R4=100kΩR_3 = R_4 = 100\text{k}\Omega。

  2. 输入阻抗计算：

    • 同相端输入阻抗：从 u1u_1 看进去，由于同相输入端具有虚断特性，输入阻抗为分压支路电阻之和：

      Rin1=R1+R4=10kΩ+100kΩ=110kΩR_{in1} = R_1 + R_4 = 10\text{k}\Omega + 100\text{k}\Omega = 110\text{k}\Omega

    • 反相端输入阻抗：从 u2u_2 看进去，由于运放虚短，同相端电位不为 0（受 u1u_1 影响），但若仅考虑反相输入端的动态等效阻抗，其值为反馈支路的输入电阻：

      Rin2≈R2=10kΩR_{in2} \approx R_2 = 10\text{k}\Omega

    • 结论：两端输入阻抗不仅有限，且高度不对称（110kΩ110\text{k}\Omega vs 10kΩ10\text{k}\Omega）。

📝 例题 2：仪表放大器的单电阻增益设计

【题目】 已知某集成三运放仪表放大器芯片（如 AD620）的内部反馈电阻固定为 RF=24.7kΩR_F = 24.7\text{k}\Omega。

  1. 写出该芯片外接增益调节电阻 RGR_G 与总差模增益 AdA_d 的数学表达式。
  2. 若需要将输入微弱信号放大 100100 倍，试计算外接电阻 RGR_G 的理论阻值。

【解答】

  1. 表达式推导： 根据三运放仪表放大器增益公式：

    Ad=1+2RFRGA_d = 1 + \frac{2R_F}{R_G}

    代入 RF=24.7kΩR_F = 24.7\text{k}\Omega 得：

    Ad=1+49.4kΩRG或RG=49.4kΩAd−1A_d = 1 + \frac{49.4\text{k}\Omega}{R_G} \quad \text{或} \quad R_G = \frac{49.4\text{k}\Omega}{A_d - 1}

  2. 计算 RGR_G： 已知目标增益 Ad=100A_d = 100：

    RG=49.4kΩ100−1=49.4kΩ99≈0.49899kΩ=499ΩR_G = \frac{49.4\text{k}\Omega}{100 - 1} = \frac{49.4\text{k}\Omega}{99} \approx 0.49899\text{k}\Omega = 499\Omega

    最终设计：外接一个阻值为 499Ω499\Omega 的高精密金属膜电阻，即可获得精确的 100 倍电压增益。

📝 例题 3：传感器桥路内阻带来的衰减效应计算

【题目】 一个等效输出内阻为 Rth=10kΩR_{th} = 10\text{k}\Omega 的压力传感器产生 Δu=1.0V\Delta u = 1.0\text{V} 的电压差。现直接接在例题 1 所设计的相减器（R1=R2=10kΩ,R3=R4=100kΩR_1=R_2=10\text{k}\Omega, R_3=R_4=100\text{k}\Omega）上。

  1. 计算由于信号源内阻导致实际输入到运放端子上的电压。
  2. 试说明如何利用仪表放大器彻底消除这一衰减。

【解答】

  1. 输入电压衰减计算： 由于信号源具有内阻 Rth=10kΩR_{th} = 10\text{k}\Omega，将其接入相减器后，输入电阻 R1,R2R_1, R_2 就会与 RthR_{th} 发生串联分压。 以反相输入端为例，实际输入到运放输入网络之前的有效电压 u2_realu_{2\_real} 变为：

    u2_real=u2×R2Rth+R2=u2×10kΩ10kΩ+10kΩ=0.5u2u_{2\_real} = u_2 \times \frac{R_2}{R_{th} + R_2} = u_2 \times \frac{10\text{k}\Omega}{10\text{k}\Omega + 10\text{k}\Omega} = 0.5 u_2

    同理，同相端也将受到传感器阻抗的分压影响。 这导致实际输入端电压衰减了整整 50%，原本设计放大的增益大幅缩水！

  2. 仪表放大器消除衰减的原理： 如果用三运放仪表放大器作为接收前级，由于仪表放大器的输入端直接接入运放的同相输入端，其输入阻抗 Rin→∞R_{in} \to \infty（通常在 GΩ\text{G}\Omega 级别）。 此时，实际输入电压为：

    ureal=u×RinRth+Rin≈u×1=uu_{real} = u \times \frac{R_{in}}{R_{th} + R_{in}} \approx u \times 1 = u

    由于分压几乎为 00，传感器内阻 RthR_{th} 上的电压降可以完全忽略不计，彻底消除了衰减效应。