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模拟电子技术基础——集成运放加法器专题笔记

本笔记基于《模拟电子技术基础》课程视频及手写笔记整理。内容涵盖从被动加法网络到有源相加器（同相/反相）的演进过程、数学推导、特性对比、工程应用及典型设计例题。

一、 知识回顾：集成运放基础与经典比例放大电路

运算放大器（Operational Amplifier, 简称运放）是一种高增益的直接耦合多级放大电路，其本质是一个高阻抗输入、低阻抗输出的相减器。

1. 运放的理想化特征与两大分析法宝

在分析运放线性应用电路时，通常将运放视为理想运放（输入电阻 $R_{id} \to \infty$，输出电阻 $R_o \to 0$，开环增益 $A_{uo} \to \infty$），由此引出分析的核心工具：

• 虚短（Virtual Short）： $u_+ \approx u_-$。由于开环增益极大，输出电压有限，两输入端之间的电位差几乎为零。
• 虚断（Virtual Break）： $i_+ \approx i_- \approx 0$。由于输入阻抗极高，流入运放输入端的电流几乎为零。
• 虚地（Virtual Ground）： 若同相输入端接地（$u_+ = 0$），则反相输入端电位也近似为零（$u_- \approx 0$）。

2. 经典比例放大电路对比

特性参数	同相比例放大器	反相比例放大器
电路示意图	输入信号 $u_{in}$ 接同相端 $u_+$	输入信号 $u_{in}$ 经电阻接反相端 $u_-$
电压放大倍数 $A_{uf}$	$1 + \frac{R_f}{R_1}$	$-\frac{R_f}{R_1}$
输入电阻 $R_{if}$	$\infty$（极高，对前级几乎无影响）	$R_1$（有限值，取决于输入电阻）
输出电阻 $R_{of}$	$0$（带载能力强）	$0$
反馈类型	深度电压并联负反馈	深度电压并联负反馈

二、 相加器的演进之路

在实际工程中，常需要将多路信号（如人声与背景音乐）进行线性叠加。以下是加法电路从“被动”到“有源”的演进过程。

1. 纯电阻网络（被动式加法器）及缺陷

在不引入有源器件（运放）的情况下，仅利用电阻分压网络即可实现加法关系。

数学推导（叠加定理）

1. $u_1$ 单独作用时（$u_2$ 接地）： $u_2$ 端的电位为 $0$，$R_2$ 与 $R_3$ 并联。节点 $A$ 的电压为：

   $u_A' = \frac{R_2 \parallel R_3}{(R_2 \parallel R_3) + R_1} \cdot u_1$

2. $u_2$ 单独作用时（$u_1$ 接地）： $u_1$ 端的电位为 $0$，$R_1$ 与 $R_3$ 并联。节点 $A$ 的电压为：

   $u_A'' = \frac{R_1 \parallel R_3}{(R_1 \parallel R_3) + R_2} \cdot u_2$

3. 两源共同作用时：

   $u_A = u_A' + u_A'' = \frac{R_2 \parallel R_3}{(R_2 \parallel R_3) + R_1} \cdot u_1 + \frac{R_1 \parallel R_3}{(R_1 \parallel R_3) + R_2} \cdot u_2$

   令 $k_1 = \frac{R_2 \parallel R_3}{(R_2 \parallel R_3) + R_1}$，$k_2 = \frac{R_1 \parallel R_3}{(R_1 \parallel R_3) + R_2}$，则有：

   $u_A = k_1 u_1 + k_2 u_2$

核心缺点

1. 带载能力极差： 一旦在 $A$ 点接上实际负载 $R_L$，$R_L$ 将与 $R_3$ 并联，直接改变分压系数 $k_1$ 和 $k_2$，导致加法比例失准。
2. 衰减无放大： 显而易见，$k_1 < 1$，$k_2 < 1$，该电路无法实现信号的放大叠加，信号越加越小。

2. 同相相加器（有源式加法器）

为了克服被动式加法器的缺陷，在电阻网络后级级联一个输入阻抗无穷大的同相比例放大器，即构成同相相加器。

电路拓扑

关键参数分析

• 同相输入端电位 $u_+$： 即被动网络的输出电位 $u_A$。

  $u_+ = u_A = \frac{R_2 \parallel R_3}{(R_2 \parallel R_3) + R_1} u_1 + \frac{R_1 \parallel R_3}{(R_1 \parallel R_3) + R_2} u_2$

• 输出电压 $u_o$：

  $u_o = \left(1 + \frac{R_f}{R}\right) u_+ = \left(1 + \frac{R_f}{R}\right) \left[ \frac{R_2 \parallel R_3}{(R_2 \parallel R_3) + R_1} u_1 + \frac{R_1 \parallel R_3}{(R_1 \parallel R_3) + R_2} u_2 \right]$

• 输入电阻 $R_{if}$： 从单个通道看进去的输入阻抗是有限的。以 $u_1$ 通道为例，当 $u_2$ 视为接地时，看进去的阻抗为：

  $R_{if1} = R_1 + (R_2 \parallel R_3)$

• 输出电阻 $R_{of}$： 由于引入了深度电压负反馈，$R_{of} = 0$，带载能力极强。

3. 同相相加器的实用简化电路

在实际工程中，上述同相相加器的公式过于冗杂，各通道间互相牵制，通常令 $R_3 \to \infty$（即去掉 $R_3$ 支路），且取 $R_1 = R_2 = R_{in}$，反馈通路取 $R_f = R$。

推导简化

此时，同相端电位 $u_+$ 由 $u_1$ 和 $u_2$ 均分：

$u_x = u_+ = \frac{u_1 + u_2}{2}$

输出电压：

$u_o = \left(1 + \frac{R_f}{R}\right) u_+ = \left(1 + \frac{R}{R}\right) \frac{u_1 + u_2}{2} = 2 \cdot \frac{u_1 + u_2}{2} = u_1 + u_2$

该电路完美实现了 $u_o = u_1 + u_2$ 的无损一比一求和。

三、 反相相加器（工程首选核心电路）

反相相加器由于其特有的“虚地”特性，消除了各个输入通道之间的相互干扰，因而在实际工程设计和集成芯片内部被广泛采用。

1. 电路拓扑

2. 分析与推导（虚短虚断法/节点电流法）

由于同相端接地（$u_+ = 0$），由“虚短”可得：反相输入端电位 $u_- \approx 0$（即虚地）。

根据“虚断”特性，流入反相输入端的电流为零。因此，各输入支路的电流之和必然等于流过反馈电阻 $R_f$ 的电流 $i_f$：

$i_1 + i_2 = i_f$

将各支路电流用电压与电阻表示：

• $i_1 = \frac{u_1 - u_-}{R_1} = \frac{u_1}{R_1}$
• $i_2 = \frac{u_2 - u_-}{R_2} = \frac{u_2}{R_2}$
• $i_f = \frac{u_- - u_o}{R_f} = -\frac{u_o}{R_f}$

代入基尔霍夫电流定律（KCL）：

$\frac{u_1}{R_1} + \frac{u_2}{R_2} = -\frac{u_o}{R_f}$

解得输出电压关系式：

$u_o = -\left( \frac{R_f}{R_1} u_1 + \frac{R_f}{R_2} u_2 \right)$

令比例系数 $k_1 = -\frac{R_f}{R_1}$，$k_2 = -\frac{R_f}{R_2}$，则：

$u_o = k_1 u_1 + k_2 u_2$

3. 反相相加器的核心优势分析

1. 权值系数完全独立可调： 因为 $u_-$ 点是“虚地点”（电位恒为 $0\text{V}$），所以改变 $R_1$ 只能改变 $u_1$ 的放大倍数，对 $u_2$ 的通路无任何电性能上的干扰。同理，改变 $R_2$ 也不干扰 $u_1$ 通道。

2. 极易扩展输入通路： 若需要三路或多路信号相加，只需在“虚地点” $u_-$ 处继续并联输入支路即可。例如三路输入时：

   $u_o = -\left( \frac{R_f}{R_1} u_1 + \frac{R_f}{R_2} u_2 + \frac{R_f}{R_3} u_3 \right)$

3. 无共模输入信号： 运放两输入端电位始终保持在 $0\text{V}$ 附近，运放几乎不承受共模电压，极大地降低了对运放共模抑制比（CMRR）的要求，提高了运算精度。

四、 加法器的典型工程应用

1. 电平搬移（Level Shifting）

手写笔记提问解答： “怎么实现的，不是只能放大求和吗？”

解答原理： 电平搬移的本质，就是将一个**交流信号（AC）与一个稳定的直流信号（DC，即电平基准）**进行求和叠加。 例如：一个信号为 $u_{ac}(t) = 2\sin(\omega t)\text{V}$（变化范围为 $-2\text{V} \sim +2\text{V}$）。如果我们通过加法器将其与一个 $U_{dc} = -2\text{V}$ 的直流电压输入求和，利用反相加法电路：

$u_o(t) = -(u_{ac}(t) + U_{dc}) = -(2\sin(\omega t) - 2) = 2 - 2\sin(\omega t)\text{V}$

此时，输出波形的范围被成功搬移到了 $0\text{V} \sim 4\text{V}$（全为正电压），从而能够送入单电源供电的 ADC（模数转换器）进行采样。在示波器的 $Y$ 轴波形上下平移调节中，其背后正是利用加法器叠加一个可变直流电平实现的。

2. 傅里叶信号合成（Square Wave Synthesis）

傅里叶变换指出：任何周期性的非正弦波（如方波）都可以分解为基波及无数次奇次谐波的和。 占空比为 $50\%$ 的完美方波其时域表达式为：

$u_{square}(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(\omega t) + \frac{1}{3}\sin(3\omega t) + \frac{1}{5}\sin(5\omega t) + \dots \right)$

利用反相三路求和器，分别输入：

• 通道1（基波）：$u_1(t) = 6\sin(\omega t)\text{V}$
• 通道2（三次谐波）：$u_2(t) = 2\sin(3\omega t)\text{V}$ （幅值为基波的 $1/3$）
• 通道3（五次谐波）：$u_3(t) = 1.2\sin(5\omega t)\text{V}$ （幅值为基波的 $1/5$）

当比例阻值设为 $R_1 = R_2 = R_3 = R_f$ 时，输出将完美合成一个初具方波雏形的波形。随着谐波叠加次数的增加，波形将越来越接近标准方波。

3. 卡拉OK混音与时标叠加

• 卡拉OK混音器： 麦克风采集的微弱人声信号与伴奏芯片输出的音乐信号，分别接入反相求和器的不同输入端，通过调节各自支路的电位器（可变电阻），独立调节人声与音乐的比例（增益），最终混合输出至功放。
• 时标信号叠加： 在测量波形中，常需要在被测信号上每隔固定时间标记一个“脉冲点”（时标）。通过加法器将测量信号与定时脉冲信号相加，即可在输出端观察到带有时标刻度的信号。

五、 工程设计例题与详解

例题 1：反相加法求和电路设计（原笔记例题）

设计要求：

1. 设计一个电路，实现两路输入信号的加法运算，输出满足：

   $u_o = -3u_1 - 5u_2$

2. 各输入通道的输入阻抗不得小于 $100\text{k}\Omega$（即 $R_{i1} \ge 100\text{k}\Omega$, $R_{i2} \ge 100\text{k}\Omega$）。

详细设计步骤：

1. 电路形式选择： 由于输出关系式前带有负号，且权值系数（$3$ 和 $5$）不相等，同时要求输入阻抗独立、互不干扰，故选用反相相加器。

2. 阻值关系推导： 反相相加器输出公式：$u_o = -\frac{R_f}{R_1}u_1 - \frac{R_f}{R_2}u_2$。 对照设计目标：

   $\frac{R_f}{R_1} = 3 \implies R_f = 3R_1$

   $\frac{R_f}{R_2} = 5 \implies R_f = 5R_2$

3. 确定输入电阻约束： 在反相相加器中，输入阻抗即为输入端支路电阻。 故要求：$R_1 \ge 100\text{k}\Omega$ 且 $R_2 \ge 100\text{k}\Omega$。

4. 参数计算（寻公倍数法）： 由 $R_f = 3R_1 = 5R_2$ 可知，若要取得整数阻值， $R_f$ 应选择 $3$ 和 $5$ 的公倍数。

   • 尝试1： 取 $R_f = 150\text{k}\Omega$，则： $R_1 = 50\text{k}\Omega$（不满足 $\ge 100\text{k}\Omega$ 约束，舍去）。

   • 尝试2： 取最小能买到的标准电阻公倍数。令 $R_2 = 150\text{k}\Omega$，则：

     $R_f = 5 \times 150\text{k}\Omega = 750\text{k}\Omega$

     $R_1 = \frac{R_f}{3} = 250\text{k}\Omega$

   • 约束检查： $R_1 = 250\text{k}\Omega \ge 100\text{k}\Omega$（满足），$R_2 = 150\text{k}\Omega \ge 100\text{k}\Omega$（满足）。

5. 设计平衡电阻 $R_p$（防止输入偏置电流引起的失调电压）： 为了减小运放输入偏置电流在输入端电阻上产生的静态误差，同相端应接平衡电阻接地，阻值取反相端所有并联电阻的等效值：

   $R_p = R_1 \parallel R_2 \parallel R_f = 250\text{k} \parallel 150\text{k} \parallel 750\text{k} \approx 88.2\text{k}\Omega$

最终设计电路参数：

• 反馈电阻：$R_f = 750\text{k}\Omega$
• 通道 1 电阻：$R_1 = 250\text{k}\Omega$
• 通道 2 电阻：$R_2 = 150\text{k}\Omega$
• 同相端平衡电阻：$R_p = 88.2\text{k}\Omega$（实际可选用 $82\text{k}\Omega$ 或 $91\text{k}\Omega$ 常用电阻标准值）

例题 2：简易同相加法电路设计（新增补充例题）

设计要求： 设计一个电路，不改变输入信号相位，实现 $u_o = 4(u_1 + u_2)$，且要求输入阻抗极高。

详细设计步骤：

1. 电路形式选择： 要求不改变相位（即同相叠加），且输入阻抗极高，选用简化同相加法器（前级无阻阻隔，后级接同相放大）。

2. 电路参数推导： 同相求和放大输出关系：

   $u_o = \left(1 + \frac{R_f}{R}\right) \frac{u_1 + u_2}{2}$

   设计目标为：

   $u_o = 4(u_1 + u_2) = 8 \left(\frac{u_1 + u_2}{2}\right)$

   故同相放大增益需满足：

   $1 + \frac{R_f}{R} = 8 \implies \frac{R_f}{R} = 7 \implies R_f = 7R$

3. 阻值选取： 为了降低热噪声，阻值通常在十千欧级选择。 取 $R = 10\text{k}\Omega$，则：

   $R_f = 7R = 70\text{k}\Omega$

   前级求和电阻取 $R_1 = R_2 = 20\text{k}\Omega$。

4. 平衡电阻匹配校准： 同相端等效接地电阻 $R_{p+} = R_1 \parallel R_2 = 20\text{k} \parallel 20\text{k} = 10\text{k}\Omega$。 反相端等效接地电阻 $R_{p-} = R \parallel R_f = 10\text{k} \parallel 70\text{k} \approx 8.75\text{k}\Omega$。 两者阻值接近，设计成立。