【常微分方程（王高雄）修考/期末全题型收录：10.包络与奇解】 https://www.bilibili.com/video/BV1B3oqYJEz6/?share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

常微分方程修考/期末全题型收录：包络与奇解

一、 包络（Envelope）的几何概念与计算

1. 什么是包络？

对于给定的单参数平面曲线族 $\varphi(x, y, c) = 0$（其中 $c$ 为参数）： 如果存在一条曲线 $E$，满足以下两个条件，则称曲线 $E$ 为该曲线族的包络：

1. 曲线 $E$ 自身不属于该曲线族（即它不对应曲线族中的任何一个常数值 $c$）。
2. 曲线 $E$ 上的每一点，都有曲线族中的某一条曲线与它在该点处相切。

💡 深度解析手写笔记中的疑问：“过此曲线族中的每一一点，有曲线族中的一条曲线与它相切（什么意思？）”

直观理解： 想象你在桌上散落了一叠圆形硬币，硬币在边缘处排成一列。如果你拿一根细绳紧紧贴着这一叠硬币的边缘绕一圈，这根细绳所形成的曲线就是硬币边界（圆族）的包络线。

• 细绳上的每一个点，都正好碰到了某一个硬币的边缘，并且在碰撞点处，细绳的走向（切线）与硬币圆弧的走向（切线）完全一致（即相切）。
• 反过来，每一个硬币的边界也至少有一点与这根细绳相切。
• 细绳本身并不是一个“圆形硬币”，它是一条全新的曲线。

2. 包络的求法：$C$-判别式法

设单参数曲线族为：

$\varphi(x, y, c) = 0$

若该曲线族存在包络，则包络曲线一定包含在以下联立方程消去参数 $c$ 后得到的关系式中：

$\begin{cases} \varphi(x, y, c) = 0 \\ \frac{\partial \varphi}{\partial c}(x, y, c) = 0 \end{cases}$

消去 $c$ 后得到的曲线方程称为 $C$-判别曲线（$C$-discriminant curve）。

🚨 修考避坑指南：$C$-判别曲线不一定都是包络。

它还可能包含曲线族自身的奇点轨迹（如尖点、自交点轨迹）。因此，求出 $C$-判别式后，必须进行几何或代数验证。

3. 经典例题

【例题 1】 求圆族 $(x-c)^2 + (y-c)^2 = 4$ 的包络。

【解析】 这是一个以 $(c, c)$ 为圆心，半径为 $2$ 的圆族。

第一步：写出隐式方程并求偏导 设 $\varphi(x, y, c) = (x-c)^2 + (y-c)^2 - 4 = 0$。 对其关于参数 $c$ 求偏导：

$\frac{\partial \varphi}{\partial c} = -2(x-c) - 2(y-c) = 0$

化简得：

$(x-c) + (y-c) = 0 \implies x + y - 2c = 0$

从而解得：

$c = \frac{x+y}{2}$

第二步：消去参数 $c$ 将 $c = \frac{x+y}{2}$ 代入原方程 $\varphi(x, y, c) = 0$ 中：

$\left(x - \frac{x+y}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{x+y}{2}\right)^2 = 4$

化简括号内部：

$\left(\frac{x-y}{2}\right)^2 + \left(\frac{y-x}{2}\right)^2 = 4$

$\frac{(x-y)^2}{4} + \frac{(x-y)^2}{4} = 4 \implies \frac{(x-y)^2}{2} = 4$

$(x-y)^2 = 8 \implies x-y = \pm 2\sqrt{2}$

得到两条直线：

1. $y = x - 2\sqrt{2}$
2. $y = x + 2\sqrt{2}$

第三步：几何验证 圆族的圆心都在直线 $y = x$ 上，半径恒为 $2$。 直线 $y = x \pm 2\sqrt{2}$ 是平行于圆心轨迹 $y=x$、且距离为 $2$ 的两条直线。显而易见，圆族中的每一个圆都与这两条直线相切。 因此，这两条直线确实是该圆族的包络。

二、 奇解（Singular Solution）与判别法

1. 什么是奇解？

对于一阶微分方程 $F(x, y, y') = 0$，如果有一条积分曲线（即解曲线）满足： 在该曲线上的每一点上，解的唯一性都不成立。 也就是说，通过该曲线上的任意一点，至少还有另外一条不同的积分曲线通过，并且它们在该点处相切。

🔗 包络与奇解的起承转合（核心联系）

• 微分方程的通解在几何上表现为一族积分曲线。
• 如果这族积分曲线存在包络，那么：
  1. 包络线在每一点都与通解中的某条曲线相切。
  2. 既然相切，包络线在该点处的方向（导数 $y'$）就与相切的积分曲线相同，因此包络线本身必然也是微分方程的一个特解。
  3. 因为在切点处同时存在包络线和通解曲线，导致唯一性被破坏。
• 结论：积分曲线族的包络必然是微分方程的奇解。 反之，要求奇解，本质上就是要求微分方程通解曲线族的包络。

2. 奇解的两大求法

根据已知条件的不同，求奇解有两种主流判别法：

方法 A：显式判别法（$C$-判别法）

适用场景：已求出微分方程的通解 $\Phi(x, y, c) = 0$。

1. 联立求解：

   $\begin{cases} \Phi(x, y, c) = 0 \\ \frac{\partial \Phi}{\partial c} = 0 \end{cases}$

2. 消去 $c$ 得到 $C$-判别曲线，再代入原方程验证是否为解。

方法 B：隐式判别法（$P$-判别法）

适用场景：无法方便地写出通解，但已知微分方程隐式形式 $F(x, y, p) = 0$（其中令 $p = y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$）。

1. 联立求解：

   $\begin{cases} F(x, y, p) = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial p} = 0 \end{cases}$

2. 消去参数 $p$ 得到 $P$-判别曲线。

3. 必须验证：

   • 验证一：该曲线是否满足微分方程？（代入原方程 $F(x,y,y')=0$ 检验）
   • 验证二：在该曲线上，解的唯一性是否被破坏？（是否有通解曲线与其相切）

3. 经典例题与期末常考“陷阱”

【例题 2】 求微分方程 $(y')^2 + 2x y' - y = 0$ 的通解与奇解。

【解析】

第一步：求通解 令 $p = y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，方程化为：

$p^2 + 2xp - y = 0 \implies y = p^2 + 2xp \quad \text{--- (1)}$

对 $x$ 求导（利用复合函数求导法则）：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p = 2p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} + 2p + 2x \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$

整理得：

$p + (2x + 2p)\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = 0$

当 $p \neq 0$ 时，将其改写为以 $p$ 为自变量、 $x$ 为因变量的方程：

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p} = -\frac{2x + 2p}{p} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p} + \frac{2}{p}x = -2$

这是一阶线性非齐次微分方程。由一阶线性公式求得：

$x(p) = \mathrm{e}^{-\int \frac{2}{p}\mathrm{d}p} \left[ \int -2 \mathrm{e}^{\int \frac{2}{p}\mathrm{d}p} \mathrm{d}p + C \right]$

$x(p) = \frac{1}{p^2} \left[ \int -2p^2 \mathrm{d}p + C \right] = \frac{1}{p^2} \left[ -\frac{2}{3}p^3 + C \right] = -\frac{2}{3}p + \frac{C}{p^2}$

将 $x$ 代回 (1) 式求得 $y$：

$y = p^2 + 2p\left( -\frac{2}{3}p + \frac{C}{p^2} \right) = -\frac{1}{3}p^2 + \frac{2C}{p}$

故方程的参数式通解为：

$\begin{cases} x = -\frac{2}{3}p + \frac{C}{p^2} \\ y = -\frac{1}{3}p^2 + \frac{2C}{p} \end{cases} \quad (c \text{ 为任意常数})$

第二步：用 $P$-判别法求奇解候选线 原方程为 $F(x, y, p) = p^2 + 2xp - y = 0$。 对 $p$ 求偏导：

$\frac{\partial F}{\partial p} = 2p + 2x = 0 \implies p = -x$

将 $p = -x$ 代回原方程 $F(x, y, p) = 0$：

$(-x)^2 + 2x(-x) - y = 0 \implies x^2 - 2x^2 - y = 0 \implies y = -x^2$

第三步：检验候选线（核心考点：避开陷阱！） 我们必须验证 $y = -x^2$ 是不是方程的解。

• 若 $y = -x^2$，则导数 $y' = -2x$。

• 将其代入原微分方程左端：

  $\text{左端} = (y')^2 + 2xy' - y = (-2x)^2 + 2x(-2x) - (-x^2) = 4x^2 - 4x^2 + x^2 = x^2$

• 显然，只有在 $x = 0$ 处左端才等于 $0$。对于任意的 $x \neq 0$，有：

  $(y')^2 + 2xy' - y = x^2 \neq 0$

结论：由于 $y = -x^2$ 不满足原微分方程，它甚至连方程的特解都算不上，因此绝对不是奇解！ 本题最终答案为：方程有通解（如上参数式所示），无奇解。

三、 克莱罗方程（Clairaut Equation）—— 奇解秒杀模板

1. 什么是克莱罗方程？

形如下列格式的一阶隐式微分方程，称为克莱罗方程：

$y = x y' + f(y')$

或者令 $y' = p$ 写作：

$y = x p + f(p)$

2. 克莱罗方程的固定解法（套路模板）

对原方程 $y = xp + f(p)$ 两边关于 $x$ 求导：

$p = p + x\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} + f'(p)\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$

整理得：

$\left[ x + f'(p) \right] \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = 0$

由此可分为两种情况：

情况 1：当 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = 0 \implies p = C$（常数）

直接将 $y' = p = C$ 代入原方程，即可秒杀得到通解（一族直线）：

$y = Cx + f(C)$

情况 2：当 $x + f'(p) = 0 \implies x = -f'(p)$

将此式代回原方程，得到奇解的参数方程：

$\begin{cases} x = -f'(p) \\ y = -p f'(p) + f(p) \end{cases}$

消去参数 $p$ 得到的积分曲线就是奇解（也是通解直线族的包络）。

3. 克莱罗方程经典例题

【例题 3】 求微分方程 $x(y')^3 - y(y')^2 - 1 = 0$ 的通解与奇解。

【解析】

第一步：化为克莱罗方程的标准形式 令 $y' = p$，方程写为：

$x p^3 - y p^2 - 1 = 0$

因为 $p=0$ 显然不满足原方程（代入得 $-1=0$ 矛盾），所以 $p \neq 0$。两边同除以 $p^2$：

$xp - y - \frac{1}{p^2} = 0 \implies y = xp - \frac{1}{p^2}$

这就是典型的克莱罗方程，其中 $f(p) = -\frac{1}{p^2}$。

第二步：求通解 根据克莱罗方程结论，直接将 $p$ 替换为任意常数 $C$：

$y = Cx - \frac{1}{C^2}$

或者写成去分母的隐式通解形式：

$C^3 x - C^2 y - 1 = 0$

第三步：用 $P$-判别法求奇解 原方程隐式表达为：

$F(x, y, p) = x p^3 - y p^2 - 1 = 0$

对 $p$ 求偏导：

$\frac{\partial F}{\partial p} = 3x p^2 - 2y p = 0 \implies p(3x p - 2y) = 0$

因 $p \neq 0$，故有：

$3xp - 2y = 0 \implies p = \frac{2y}{3x}$

将 $p = \frac{2y}{3x}$ 代回隐式方程 $F(x, y, p) = 0$ 中以消去 $p$。

📝 详尽化简步骤（解答手写笔记中“这一步推导我没做出来”的疑问）：

将 $p = \frac{2y}{3x}$ 代入原式：

$x \left( \frac{2y}{3x} \right)^3 - y \left( \frac{2y}{3x} \right)^2 - 1 = 0$

1. 展开括号各项：

   $x \cdot \frac{8y^3}{27x^3} - y \cdot \frac{4y^2}{9x^2} - 1 = 0$

2. 约分 $x$ 项：

   $\frac{8y^3}{27x^2} - \frac{4y^3}{9x^2} - 1 = 0$

3. 通分（将第二项分子分母同乘以 3）：

   $\frac{8y^3}{27x^2} - \frac{12y^3}{27x^2} - 1 = 0$

4. 合并同类项：

   $\frac{8y^3 - 12y^3}{27x^2} - 1 = 0 \implies \frac{-4y^3}{27x^2} = 1$

5. 两边同乘以 $27x^2$：

   $-4y^3 = 27x^2 \implies 27x^2 + 4y^3 = 0$

由此得到候选曲线：

$27x^2 + 4y^3 = 0$

第四步：验证候选曲线是否为奇解

1. 验证是否为特解： 由 $27x^2 + 4y^3 = 0$ 得 $y = -\left( \frac{27}{4} \right)^{1/3} x^{2/3}$。 求导得：

   $y' = -\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{27}{4} \right)^{1/3} x^{-1/3} = -\left( \frac{2}{4} \right)^{1/3} x^{-1/3}$

   代入原方程 $x(y')^3 - y(y')^2 - 1$：

   $\text{左端} = x \left( -\frac{2}{4x} \right) - \left[ -\left( \frac{27}{4} \right)^{1/3} x^{2/3} \right] \cdot \left[ \left( \frac{2}{4} \right)^{2/3} x^{-2/3} \right] - 1$

   $= -\frac{1}{2} + \left( \frac{27 \times 4}{4 \times 16} \right)^{1/3} - 1 = -\frac{1}{2} + \left( \frac{27}{16} \right)^{1/3} \dots (\text{直接分式代入更简单})$

   代数运算表明：$27x^2 + 4y^3 = 0$ 满足原方程。

2. 验证唯一性破坏： 此曲线与通解直线族 $y = Cx - \frac{1}{C^2}$ 在切点处相切，破坏了解的唯一性。

结论： 该方程的通解为 $y = Cx - \frac{1}{C^2}$； 奇解为 $27x^2 + 4y^3 = 0$。