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• 7-1-12二阶常系数非齐次方程求解—类型二_哔哩哔哩_bilibili

• 【3.可化为变量分离方程的变量替换法（齐次方程）】 https://www.bilibili.com/video/BV1QqXTYLEmH/?share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

高阶微分方程核心笔记 (整理与润色版)

引言：为什么研究高阶微分方程？

在实际物理与工程问题中，许多系统不仅与状态的变化率（一阶导数）相关，还与变化率的变化（如加速度、振动等二阶或更高阶导数）密切相关。 然而，任意的高阶微分方程一般难以求出解析通解。因此，我们的核心策略是：

1. 对于一般高阶方程：寻找特定的结构，通过变量代换将其化为低阶方程求解（即降阶法）。
2. 对于线性高阶方程：利用解的线性叠加原理与特征方程法，实现标准化、代数化的求解。

第一部分：可降阶的高阶微分方程

对于某些特殊的高阶微分方程，其方程中不显含某些变量，可以通过变量代换（作变换）降低其阶数，从而转化为一阶微分方程来求解。

我们主要研究以下三种标准类型：

$\begin{cases} y^{(n)} = f(x) & \text{—— 特点：仅含自变量 } x \text{ 和 } n \text{ 阶导数} \\ y'' = f(x, y') & \text{—— 特点：不显含未知函数 } y \\ y'' = f(y, y') & \text{—— 特点：不显含自变量 } x \end{cases}$

类型一：$y^{(n)} = f(x)$

• 求解 SOP (标准步骤)： 这类方程最简单，由于右端仅仅是自变量 $x$ 的函数，我们只需要对两端进行反复积分 $n$ 次即可得到通解。

【例题 1】求 $y''' = 2x$ 的通解。

【解析】 这是一个 $n=3$ 的类型一方程，我们对等式两端连续进行三次积分：

1. 第一次积分：

   $y'' = \int 2x \, dx = x^2 + C_1$

2. 第二次积分：

   $y' = \int (x^2 + C_1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1x + C_2$

3. 第三次积分：

   $y = \int \left(\frac{1}{3}x^3 + C_1x + C_2\right) \, dx = \frac{1}{12}x^4 + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2x + C_3$

为了使通解形式更加清爽，我们可以将任意常数 $\frac{C_1}{2}$ 重新记为新的任意常数 $C_1$（这在微分方程中是标准操作）：

$y = \frac{1}{12}x^4 + C_1x^2 + C_2x + C_3 \quad (C_1, C_2, C_3 \text{ 为任意常数})$

类型二：$y'' = f(x, y')$（不显含 $y$）

• 求解 SOP (标准步骤)：

  1. 作变换：令 $y' = p(x)$，则二阶导数 $y'' = p'$。

  2. 代入原方程：得到关于 $x, p$ 的一阶微分方程：

     $p' = f(x, p)$

  3. 求解一阶方程：求出 $p$ 的通解：

     $p = y' = \varphi(x, C_1)$

  4. 二次积分：再对 $x$ 积分一次，即得原方程通解：

     $y = \int \varphi(x, C_1) \, dx + C_2$

【例题 2】求 $xy'' - y' = x^2$ 的通解。

【解析】 方程中不显含 $y$，属于类型二。

1. 变量代换： 令 $y' = p(x)$，则 $y'' = p'$。代入方程得：

   $x p' - p = x^2$

2. 化为一阶标准线性方程（两端同除以 $x$，设 $x > 0$）：

   $p' - \frac{1}{x} p = x$

3. 使用一阶非齐次线性方程通解公式： 这里 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x$。 积分因子为：

   $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$

   两端同乘 $\mu(x)$ 得：

   $\left( \frac{p}{x} \right)' = 1 \implies \frac{p}{x} = x + C_1 \implies p = x^2 + C_1x$

4. 还原并积分：

   $y' = x^2 + C_1x$

   对两端积分：

   $y = \int (x^2 + C_1x) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2$

   吸收常数 $\frac{C_1}{2} \to C_1$，最终通解为：

   $y = \frac{1}{3}x^3 + C_1x^2 + C_2 \quad (C_1, C_2 \text{ 为任意常数})$

类型三：$y'' = f(y, y')$（不显含 $x$）

• 求解 SOP (标准步骤)：

  1. 作变换：令 $y' = p$。由于方程不含自变量 $x$，我们将 $p$ 看作 $y$ 的函数，即 $p = p(y)$。

  2. 利用链式法则表示二阶导数：

     $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$

  3. 代入原方程：转化为关于 $y, p$ 的一阶微分方程：

     $p \frac{dp}{dy} = f(y, p)$

  4. 分离变量求解：解出 $p = \varphi(y, C_1)$。

  5. 二次积分：由 $\frac{dy}{dx} = \varphi(y, C_1)$，分离变量得 $\frac{dy}{\varphi(y, C_1)} = dx$，两端积分即可得到隐式通解。

【例题 3】求 $y y'' - (y')^2 = 0$ 的通解。

【解析】 方程不显含 $x$，属于类型三。

1. 变量代换： 令 $y' = p$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$。代入原方程：

   $y \left( p \frac{dp}{dy} \right) - p^2 = 0 \implies p \left( y \frac{dp}{dy} - p \right) = 0$

2. 分情况讨论：

   • 情况 A：若 $p = 0 \implies y' = 0 \implies y = C$（常数解）。

   • 情况 B：若 $p \neq 0$，则：

     $y \frac{dp}{dy} = p \implies \frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}$

     两端积分得：

     $\ln|p| = \ln|y| + \bar{C}_1 \implies p = C_1 y \quad (C_1 \neq 0)$

3. 还原并积分：

   $y' = C_1 y \implies \frac{dy}{y} = C_1 dx$

   两端积分：

   $\ln|y| = C_1 x + \bar{C}_2 \implies y = C_2 e^{C_1 x} \quad (C_2 \neq 0)$

   注：当 $C_2 = 0$ 时，该式表示 $y = 0$，已包含在情况 A 中；当 $C_1 = 0$ 时，该式表示 $y = C_2$，亦为常数解。 因此，原方程的完整通解可统一写为：

   $y = C_2 e^{C_1 x} \quad (C_1, C_2 \text{ 为任意常数})$

第二部分：高阶线性微分方程解的结构

承上启下：对于可降阶的微分方程，我们依赖于各种巧妙的代换。但对于更为普遍的“线性”微分方程，我们可以直接利用线性空间与算子叠加原理来建立极其精美的解结构。这与线性代数中“非齐次线性方程组的通解 = 齐次通解 + 非齐次特解”的原理完全一致。

二阶线性微分方程的标准形式：

• 齐次 (Homogeneous) 方程：

  $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \quad \text{—— 右端项为 } 0$

• 非齐次 (Non-homogeneous) 方程：

  $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \quad \text{—— 右端项不为 } 0$

一、齐次线性方程解的结构

性质 1

若 $y_1(x), y_2(x)$ 是齐次方程的两个解，则它们的任意线性组合：

$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$

也一定是该齐次方程的解。

• 注意：这不一定是通解，除非 $y_1, y_2$ 满足线性无关的条件。

性质 2

若 $y_1(x), y_2(x)$ 是齐次微分方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为：

$y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \quad (C_1, C_2 \text{ 为独立常数})$

核心概念：函数的线性相关与无关性

1. 严格定义

设 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是区间 $I$ 上的 $n$ 个函数。

• 如果存在一组不全为零的常数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，使得在区间 $I$ 上恒有：

  $k_1 y_1 + k_2 y_2 + \dots + k_n y_n \equiv 0$

  则称这 $n$ 个函数在区间 $I$ 上线性相关 (Linearly Dependent)。

• 反之，若上述等式成立当且仅当 $k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0$，则称它们线性无关 (Linearly Independent)。

2. 双函数判定的简便方法

对于两个函数 $y_1, y_2$，它们线性相关的充分必要条件是：比值为常数。

$\frac{y_2}{y_1} \equiv C \implies \text{相关} ； \quad \frac{y_2}{y_1} \neq \text{常数} \implies \text{无关}$

3. 补充工具：沃伦斯基行列式 (Wronskian)

对于区间 $I$ 上的可导函数 $y_1, y_2$，其 Wronskian 定义为：

$W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'$

• 若 $W(x) \neq 0$，则 $y_1, y_2$ 线性无关。

【例题 4】判定下列函数组的线性相关性：

1. $\{e^x, 2e^x, \sin x\}$
   • 分析：由于 $2 \cdot (e^x) - 1 \cdot (2e^x) + 0 \cdot \sin x \equiv 0$。
   • 常数系数：$k_1 = 2, k_2 = -1, k_3 = 0$（不全为零）。
   • 结论：线性相关。
2. $\{\sin^2 x, \cos^2 x, 1\}$
   • 分析：利用三角恒等式：$1 \cdot \sin^2 x + 1 \cdot \cos^2 x - 1 \cdot 1 \equiv 0$。
   • 常数系数：$k_1 = 1, k_2 = 1, k_3 = -1$（不全为零）。
   • 结论：线性相关。
3. $\{1, x, x^2\}$
   • 分析：设 $k_1 \cdot 1 + k_2 x + k_3 x^2 \equiv 0$。此多项式要在区间上恒为0，必须各项系数都为 0。
   • 结论：线性无关。
4. $\{e^x, e^{2x}\}$
   • 分析：计算其比值：$\frac{e^{2x}}{e^x} = e^x \neq \text{常数}$。
   • 结论：线性无关。

二、非齐次线性方程解的结构与叠加原理

性质 3

非齐次线性微分方程的通解 $y$ 等于其对应齐次方程的通解 $Y$ 与其自身的一个特解 $y^*$ 之和：

$y = Y + y^* = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y^*$

性质 4 & 性质 5

设 $y_1^*$ 是 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)$ 的解， $y_2^*$ 是 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x)$ 的解， 则 $y_1^* + y_2^*$ 必然是方程：

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$

的特解。

第三部分：二阶常系数齐次线性微分方程的求解

承上启下：有了“找到两个线性无关特解即可写出通解”的结构定理。那么如何具体求出这两个特解呢？对于常系数方程，有一个极度高效的代数化方法。

二阶常系数齐次线性微分方程形式：

$y'' + p y' + q y = 0 \quad (p, q \text{ 为常数})$

1. 核心启发：特征方程的引入

一阶方程 $y' + k y = 0$ 的解为指数形式 $y = e^{-kx}$。这启发我们猜测二阶常系数方程也具有指数形式解。 设特解为 $y = e^{rx}$（$r$ 为待定常数），则：

$y' = r e^{rx}, \quad y'' = r^2 e^{rx}$

代入原方程得：

$(r^2 + pr + q) e^{rx} = 0$

由于 $e^{rx} \neq 0$，我们得到一个一元二次方程，称为微分方程的特征方程：

$r^2 + p r + q = 0$

2. 特征根的三种情况与通解对照表

设判别式为 $\Delta = p^2 - 4q$。特征根为 $r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$：

判别式情况	特征根的性质	两个线性无关特解 $y_1, y_2$	齐次微分方程通解 $y$
$\Delta > 0$	两个不相等的实根 $r_1 \neq r_2$	$y_1 = e^{r_1 x}, \ y_2 = e^{r_2 x}$	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
$\Delta = 0$	两个相等的重实根 $r_1 = r_2$	$y_1 = e^{r_1 x}, \ y_2 = x e^{r_1 x}$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}$
$\Delta < 0$	一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$	$y_1 = e^{\alpha x} \cos\beta x, \ y_2 = e^{\alpha x} \sin\beta x$	$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$

注：第三种情况中 $\alpha = -\frac{p}{2}$，$\beta = \frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$。其基底特解通过欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 转化为了实数函数形式。

【例题 5】求 $y'' - 2y' - 3y = 0$ 的通解。

【解析】

1. 写出特征方程：

   $r^2 - 2r - 3 = 0 \implies (r-3)(r+1) = 0$

2. 求解特征根：

   $r_1 = 3, \quad r_2 = -1 \quad (\Delta > 0, \text{ 实相异根})$

3. 写出通解：

   $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$

【例题 6】求 $y'' - 2y' + 5y = 0$ 的通解。

【解析】

1. 写出特征方程：

   $r^2 - 2r + 5 = 0$

2. 求解特征根：

   $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0$

   $r_{1,2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \implies \text{实部 } \alpha = 1, \text{ 虚部 } \beta = 2$

3. 写出通解：

   $y = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$

第四部分：二阶常系数非齐次方程特解的确定

承上启下：有了非齐次方程通解结构 $y = Y + y^*$，已知齐次通解 $Y$ 的求法后，本节的关键任务就是求出非齐次特解 $y^*$。我们采用待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients)。

根据自由项 $f(x)$ 的类型，主要有两种特解设定规则：

类型一：$f(x) = e^{\lambda x} P_n(x)$

（其中 $P_n(x)$ 是关于 $x$ 的 $n$ 次多项式）

• 特解设定公式：

  $y^* = x^k e^{\lambda x} Q_n(x)$

  • $Q_n(x)$ 为与 $P_n(x)$ 同次数的待定系数多项式：

这个地方容易被忘记

$$Q_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

• $k$（重根指数） 的取值规则：

  $k = \begin{cases} 0 & \lambda \text{ 不是特征根 (即 } \lambda \neq r_1, r_2 \text{)} \\ 1 & \lambda \text{ 是单特征根 (即 } \lambda = r_1 \text{ 或 } r_2, \text{ 且 } r_1 \neq r_2 \text{)} \\ 2 & \lambda \text{ 是重特征根 (即 } \lambda = r_1 = r_2 \text{)} \end{cases}$

【例题 7】求 $2y'' + y' - y = 2e^x$ 的通解。

【解析】

1. 第一步：求对应齐次方程的通解 $Y$：

   $2y'' + y' - y = 0 \implies 2r^2 + r - 1 = 0 \implies (2r-1)(r+1) = 0$

   特征根为：$r_1 = \frac{1}{2}, \ r_2 = -1$。 齐次通解为：

   $Y = C_1 e^{\frac{1}{2}x} + C_2 e^{-x}$

2. 第二步：确定非齐次特解 $y^*$ 的形式： 自由项 $f(x) = 2e^x \implies \lambda = 1, \ P_0(x) = 2$ (0 次多项式)。

   • 根的比较：由于 $\lambda = 1$ 不是特征根（$1 \neq \frac{1}{2}$ 且 $1 \neq -1$），故 $k = 0$。
   • 特解形式：设 $y^* = C e^x$。

3. 第三步：代入确定系数 $C$：

   $(y^*)' = C e^x, \quad (y^*)'' = C e^x$

   代入原方程 $2y'' + y' - y = 2e^x$ 得：

   $2(C e^x) + C e^x - C e^x = 2e^x \implies 2C e^x = 2e^x \implies C = 1$

   所以特解为：$y^* = e^x$。

4. 第四步：写出原非齐次方程通解：

   $y = Y + y^* = C_1 e^{\frac{1}{2}x} + C_2 e^{-x} + e^x$

【例题 8】求 $y'' - 5y' + 6y = x e^{2x}$ 的通解。

【解析】

1. 求齐次通解 $Y$： 特征方程 $r^2 - 5r + 6 = 0 \implies (r-2)(r-3) = 0$。 特征根 $r_1 = 2, \ r_2 = 3$。 齐次通解为：

   $Y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

2. 确定非齐次特解 $y^*$ 形式： 自由项 $f(x) = x e^{2x} \implies \lambda = 2, \ P_1(x) = x$ (1 次多项式)。

   • 根的比较：$\lambda = 2$ 是微分方程的单特征根，因此重根指数 $k = 1$。

   • 特解形式：

     $y^* = x^1 e^{2x} (ax + b) = e^{2x} (ax^2 + bx)$

3. 求导并代入确定系数 $a, b$： 计算 $y^*$ 的一阶、二阶导数：

   $(y^*)' = e^{2x}(2ax + b) + 2e^{2x}(ax^2 + bx) = e^{2x}\left[2ax^2 + (2a+2b)x + b\right]$

   $(y^*)'' = 2e^{2x}\left[2ax^2 + (2a+2b)x + b\right] + e^{2x}\left[4ax + 2a + 2b\right] = e^{2x}\left[4ax^2 + (8a+4b)x + 2a+4b\right]$

   将它们代入非齐次方程 $y'' - 5y' + 6y = x e^{2x}$：

   $e^{2x}\left[4ax^2 + (8a+4b)x + 2a+4b\right] - 5e^{2x}\left[2ax^2 + (2a+2b)x + b\right] + 6e^{2x}(ax^2+bx) = xe^{2x}$

   两端同消去 $e^{2x}$，合并同类项：

   $(4a - 10a + 6a)x^2 + (8a+4b - 10a - 10b + 6b)x + (2a+4b - 5b) = x$

   简化为：

   $-2a x + (2a - b) = x$

   系数对应相等，得到联立方程组：

   $\begin{cases} -2a = 1 \\ 2a - b = 0 \end{cases} \implies a = -\frac{1}{2}, \quad b = -1$

   因此，特解为：

   $y^* = e^{2x} \left( -\frac{1}{2}x^2 - x \right)$

4. 写出完整通解：

   $y = Y + y^* = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} - e^{2x} \left( \frac{1}{2}x^2 + x \right)$

类型二：$f(x) = e^{\lambda x} [P_n(x)\sin \omega x + P_l(x)\cos \omega x]$

• 特解设定公式：

  $y^* = x^k e^{\lambda x} [Q_m(x)\sin \omega x + R_m(x)\cos \omega x]$

  • $m$：设为两项中最高的阶数：$m = \max(n, l)$。

  • $Q_m(x), R_m(x)$：同为 $m$ 次的待定系数多项式。

  • $k$（重根指数） 判定规则：

    $k = \begin{cases} 0 & \lambda \pm i\omega \text{ 不是特征根} \\ 1 & \lambda \pm i\omega \text{ 是特征根} \end{cases}$

【例题 9】求 $y'' - 2y' + 5y = \cos x$ 的通解。

💡 修正提示：手写笔记在最后一页此题计算中，其特解结果系数符号存在微小笔误（错把 $\sin x$ 系数写正、$\cos x$ 系数写负）。在此我们给出最严谨的正确步骤推导：

【解析】

1. 求齐次方程通解 $Y$： 特征方程为 $r^2 - 2r + 5 = 0 \implies r_{1,2} = 1 \pm 2i$。 齐次通解为：

   $Y = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$

2. 确定特解形式 $y^*$： 自由项 $f(x) = \cos x \implies \lambda = 0, \ \omega = 1$。

   • 复根比对：$\lambda + i\omega = 0 + i = i$，它不等于特征根 $1 \pm 2i$，所以 $k = 0$。

   • 特解形式：$m = \max(0,0) = 0$（常数系数）。设特解形式为：

     $y^* = a\cos x + b\sin x$

3. 求导并代入原方程：

   $(y^*)' = -a\sin x + b\cos x$

   $(y^*)'' = -a\cos x - b\sin x$

   代入原方程 $y'' - 2y' + 5y = \cos x$：

   $(-a\cos x - b\sin x) - 2(-a\sin x + b\cos x) + 5(a\cos x + b\sin x) = \cos x$

   整理合并 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的同类项：

   $(4a - 2b)\cos x + (2a + 4b)\sin x = \cos x$

   建立方程组：

   $\begin{cases} 4a - 2b = 1 \\ 2a + 4b = 0 \end{cases}$

   由第二式得 $a = -2b$，代入第一式得：

   $4(-2b) - 2b = 1 \implies -10b = 1 \implies b = -\frac{1}{10}$

   进而求得：

   $a = \frac{1}{5}$

   所以，正确的特解为：

   $y^* = \frac{1}{5}\cos x - \frac{1}{10}\sin x$

4. 原微分方程通解：

   $y = Y + y^* = e^x (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) + \frac{1}{5}\cos x - \frac{1}{10}\sin x$