第二章：微积分之导数篇

1. 导数的定义与几何意义

1.1 从直线到曲线

• 直线的斜率： $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，反映了 $y$ 随 $x$ 变化的快慢。
• 曲线的切线： 采用“以直代曲”的思想。在曲线上找极度接近的两点，其割线斜率的极限即为该点的切线斜率。

1.2 导数的定义

导数的本质是一个瞬时变化率。

$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}$

• 物理意义： 瞬时速度是位移在某一时刻的平均速度极限。
• 本质： 导数描述的是一个微小的变化量。

2. 导数的运算规则

2.1 复合函数求导（链式法则 Chain Rule）

对于复合函数 $y = f(g(x))$，引入中间变量 $u = g(x)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

例题： 求 $y = \sin(x^2)$ 的导数。

1. 令 $u = x^2 \Rightarrow y = \sin u$
2. $\frac{dy}{du} = \cos u$，$\frac{du}{dx} = 2x$
3. $y' = \cos(x^2) \cdot 2x$

2.2 常用导数表（速查）

• $(C)' = 0$
• $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$
• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(e^x)' = e^x$
• $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

3. 判断函数的可导性

3.1 定义法

判断函数在某点是否可导，必须判断极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ 是否存在且有限。

例题： 判断 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处的可导性。

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x^2 \sin \frac{1}{\Delta x} - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}$

由于 $\sin \frac{1}{\Delta x}$ 是有界函数，而 $\Delta x \to 0$，根据夹逼准则，极限为 $0$。因此 $f(x)$ 在 $0$ 处可导且 $f'(0)=0$。

注意： 在处理分界点导数时，一定要用极限定义，不能直接套用求导公式再带入，因为导函数在分界点可能不连续。

3.2 可导与连续的关系（修正）

• 可导必连续： 如果 $f(x)$ 在某点可导，那么它在该点一定连续。
• 连续不一定可导： 例如 $y = |x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导（尖点）。

4. 导数应用：线性近似与极限求解

4.1 线性近似（以直代曲）

当 $\Delta x$ 极小时，$f(a+\Delta x) \approx f(a) + f'(a) \cdot \Delta x$。

例题： 已知 $f(x) = \sqrt{x}$，求 $\sqrt{4.01}$ 的近似值。

1. 选取基准点 $a=4$，则 $f(4)=2$。
2. 求导：$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(4) = \frac{1}{4} = 0.25$。
3. $\Delta x = 0.01$。
4. $f(4.01) \approx 2 + 0.25 \times 0.01 = 2.0025$。

4.2 利用导数定义求极限

例题： $f(x)$ 在 $x=0$ 可导，$f(0)=1, f'(0)=2$，求 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - e^x}{\sin x}$。 解：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - e^x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) + 1 - e^x}{x \cdot \frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)-f(0)}{x} - \frac{e^x-1}{x} \right) = f'(0) - 1 = 2 - 1 = 1$

5. 高阶导数与特殊求导法

5.1 莱布尼茨公式（乘积的高阶导数）

类比二项式展开 $(a+b)^n$：

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$

5.2 隐函数求导

当 $y$ 与 $x$ 混合在一起时，方程两边同时对 $x$ 求导。 例题： $y - xe^y = 1$，求 $y'$。

1. 两边求导：$y' - (e^y + x e^y y') = 0$
2. 整理：$y'(1 - xe^y) = e^y \Rightarrow y' = \frac{e^y}{1-xe^y}$

5.3 参数方程求导

若 $\begin{cases} y = f(t) \\ x = g(t) \end{cases}$，则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

二阶导数：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$。

6. 泰勒公式（Taylor Series）

6.1 核心思想

复杂的函数可以通过无穷项多项式来无限拟合。

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots$

其中系数 $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$（麦克劳林级数）。

6.2 常用麦克劳林级数

• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
• $e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots$
• $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots$
• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

6.3 泰勒公式的应用

1. 代入求极限： 尤其是在处理复杂的无穷小比较时。
2. 判断无穷小的阶数：
3. 求高阶导数： 例题： $f(x) = x^5 \cos x$，求 $f^{(9)}(0)$。 利用 $\cos x$ 展开式：$f(x) = x^5 (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) = x^5 - \frac{x^7}{2!} + \frac{x^9}{24} - \dots$ 根据泰勒系数定义，$a_9 = \frac{f^{(9)}(0)}{9!} = \frac{1}{24}$。 所以 $f^{(9)}(0) = \frac{9!}{24} = 15120$。