行列式和逆矩阵

[TOC]

graph LR
    %% 核心节点
    Root((行列式))
    
    %% 主分支
    Solve[解方程]
    Calc[求值方法]
    Inverse[求逆矩阵]
    Special[特殊形式]

    Root --- Solve
    Root --- Calc
    Root --- Inverse
    Root --- Special

    %% 解方程分支
    Solve --> Cramer["Cramer's Rule"]
    Solve --> InvSolve["逆矩阵法: x = A⁻¹b"]

    %% 求值方法分支
    Calc --> Sarrus["Sarrus法则 (对角线法)"]
    Calc --> Cofactor[余因子展开]
    Cofactor --> Zero["技巧: 构造 0 元素"]
    Calc --> Linear[线性性质]
    Linear --> Proof["证明技巧: 结果驱动变换"]
    Calc --> Product["积的性质: |AB| = |A||B|"]

    %% 逆矩阵步骤分支
    Inverse --> S1["1. 求行列式值 |A|"]
    Inverse --> S2["2. 求代数余子式"]
    Inverse --> S3["3. 伴随矩阵 (余子式转置)"]
    Inverse --> S4["4. 代入 A⁻¹ = (1/|A|)A*"]

    %% 特殊形式分支
    Special --> Poly[多项式表示]
    Special --> Van["范特蒙德 (Vandermonde)"]
    Special --> Block[分块矩阵 Block]
    Block --> BlockEq["det = |X| * |Z|"]

    %% 样式美化
    style Root fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style Special fill:#e1f5fe,stroke:#01579b
    style Solve fill:#e8f5e9,stroke:#2e7d32

补充的矩阵定义

• 可换矩阵：满足乘法交换律的矩阵，即 $AB = BA$。
• 零因子：如果 $A$、$B$ 都不是零矩阵，但 $AB = 0$，那么 $A$ 和 $B$ 互为零因子。直观地说，它们会把对方的某些向量压到零空间里。
• 幂零矩阵：如果 $A$ 不是零矩阵，但存在正整数 $n$ 使得 $A^n = 0$，那么 $A$ 是幂零矩阵。

范德蒙德行列式

范德蒙德（Vandermonde）行列式的值可以写成

$$\Delta_n = \prod_{1 \le j < i \le n}(x_i - x_j)$$

它的重要意义之一是：只要 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 两两不相同，范德蒙德行列式就不为零，因此对应的线性方程组有唯一解。

例子：三点确定一条二次曲线

假设平面上有三个横坐标互不相同的点：

• $(x_1, y_1)$
• $(x_2, y_2)$
• $(x_3, y_3)$

我们要找的曲线方程设为

$$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$$

把三个点代入后，可以得到一个含有 $a_0, a_1, a_2$ 的线性方程组：

1. $a_0 + a_1 x_1 + a_2 x_1^2 = y_1$
2. $a_0 + a_1 x_2 + a_2 x_2^2 = y_2$
3. $a_0 + a_1 x_3 + a_2 x_3^2 = y_3$

它的系数矩阵正是一个三阶范德蒙德矩阵：

$$\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{bmatrix}$$

这个矩阵的行列式恰好等于

$$(x_3 - x_2)(x_3 - x_1)(x_2 - x_1)$$

因为三个点的横坐标互不相同，所以这个乘积不可能为 $0$。于是，这组未知系数存在且仅存在一个解。

置换与符号

这一部分的核心，是解释余因子展开和伴随矩阵里为什么会出现正负号。

为什么要引入置换

置换理论通过“交换次数”来严格定义符号，从而说明为什么有些项前面是加号，有些项前面是减号。

置换的乘法

在线性代数里，置换的乘法 $\tau \sigma$ 遵循“从右往左执行”的原则，和函数复合 $f(g(x))$ 很像：先做右边的 $\sigma$，再做左边的 $\tau$。

例子

设

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

那么：

• 在 $\sigma$ 中，$1 \to 1$；再经过 $\tau$，$1 \to 2$，所以 $1 \to 2$。
• 在 $\sigma$ 中，$2 \to 3$；再经过 $\tau$，$3 \to 3$，所以 $2 \to 3$。
• 在 $\sigma$ 中，$3 \to 2$；再经过 $\tau$，$2 \to 1$，所以 $3 \to 1$。

因此，

$$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

逆置换

对应关系 $i_k \to k$（$k = 1, 2, \dots, n$）本身也是一个置换，称为 $\sigma$ 的逆置换，记作 $\sigma^{-1}$。

直观理解是：如果 $\sigma$ 把 $1$ 变成 $2$，那么 $\sigma^{-1}$ 就把 $2$ 变回 $1$。

求逆置换时，可以按下面两步做：

1. 先把 $\sigma$ 的上下两行直接对调。
2. 再把上面那一行按 $1, 2, 3, \dots$ 的顺序重新排好，同时保持上下对应关系不变。

例如，

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

先上下对调：

$$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$

再按第一行从小到大排序，就得到

$$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$

轮换与对换

如果某几个元素按照

$$i_1 \to i_2,\quad i_2 \to i_3,\quad \dots,\quad i_m \to i_1$$

形成一个闭环，而其余元素保持不动，那么这部分就构成一个长度为 $m$ 的轮换，记作

$$(i_1\ i_2\ \dots\ i_m)$$

长度为 $2$ 的轮换 $(i\ j)$ 称为对换，表示只交换 $i$ 和 $j$。

[!important] 任意置换都可以表示为轮换的积，而任意轮换又可以表示为对换的积。所以任意置换都可以表示为对换的积。

置换的奇偶性

任何置换都可以表示为对换的积，但这种表示方式并不唯一。

例如，$(2\ 3\ 1\ 4)$ 既可以写成 $3$ 个对换的积，也可以写成 $5$ 个对换的积。虽然写法不唯一，但对换个数的奇偶性一定保持不变。

• 偶置换（even permutation）：对换个数为偶数，记作 $\operatorname{sgn}(\sigma) = +1$。
• 奇置换（odd permutation）：对换个数为奇数，记作 $\operatorname{sgn}(\sigma) = -1$。

这里的 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ 就叫作置换的符号。

证明方法

铁则 0：先把命题翻译成定义和条件

1. 先从定义和定理入手。
2. 用文字和公式把条件完整写出来。
3. 把目标等式或目标结论拆成可操作的步骤。
4. 把题目里的自然语言翻译成数学条件。

铁则 1：遇到“任意”命题，先找恒等式和必要条件

对于“对任意对象都成立”的证明题，优先做两件事：

1. 思考有没有合适的恒等式可以利用。
2. 收集命题成立所必需的条件。

铁则 2：涉及自然数时，先具体化，再考虑归纳

1. 先代入 $n = 1, 2, 3, \dots$ 观察规律。
2. 发现规律后，优先考虑数学归纳法。
3. 关注题目到底要求证明“存在”“唯一”，还是“对所有 $n$ 都成立”。

自然数具有离散和递增的特性。先具体化可以帮助形成猜想，再用归纳法把猜想严格证明。

铁则 3：否定命题常用反证法

形如“……不存在”“……不成立”“……不是 ……”的命题，通常适合用反证法。

常见步骤是：

1. 假设原命题的否定成立。
2. 从这个假设出发做逻辑推导。
3. 推出矛盾，例如 $0 = 1$，或者与已知条件冲突。
4. 因而原命题成立。

常见性质

行列式的性质

1. 单位矩阵的行列式为 $1$。
2. 任意两列（或两行）交换，行列式变号。
3. 行列式对任一列（或任一行）都是线性的。
4. 矩阵转置后，行列式不变，即 $|A^T| = |A|$。
5. 乘积的行列式等于行列式的乘积，即 $|AB| = |A||B|$。

对于一些难以直接计算的行列式，可以尝试把它拆成两个较简单的行列式的乘积，或者先化成更容易计算的形式。

逆矩阵的性质

• 定义：$AX = XA = E$。
• 可逆判定条件：$|A| \ne 0$。

常见题型与解法

行列式怎么求

1. 对于二阶、三阶行列式，可用萨鲁斯法则（Rule of Sarrus）。
2. 对于四阶及以上，常用余因子展开；必要时可以先配合高斯消元，制造更多的零。
3. 善用行列式的性质：
   • $|AB| = |A||B|$；
   • 行列式对行和列都具有线性性质；
   • 可以尝试提取公因子；
   • 如果能化成上三角矩阵，就能直接用对角线元素求值。

一个常见技巧是：如果行列式中每一行元素的代数和都等于 $S$，可以尝试把所有列加到第一列，再从第一列中提取公因子 $S$。

4. 也可以尝试分块构造。当矩阵具有分块上三角或分块下三角结构时，

$$\begin{vmatrix} A & O \\ Y & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$$

这种形式往往能把复杂问题转成乘积问题。

矩阵的幂运算

相似变换下有一个常用公式：

$$(P^{-1}AP)^r = P^{-1}A^rP$$

它的原理很简单：中间的 $PP^{-1}$ 会两两抵消，只剩首尾的 $P^{-1}$ 和 $P$。

只要看到这类幂运算，就应该联想到相似变换和对角化。