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微积分-CH2-微分

整理导数定义、求导法则、高阶导数、中值定理与函数图形分析。

April 25, 2026 修考 14 min read

[TOC]

这一篇在讲什么

微分的主线是：从平均变化率出发，通过极限得到瞬时变化率，也就是导数；再用导数研究函数的单调性、极值、凹凸性和图形形状。

从复习角度看，可以分成四块：

导数定义：会不会从极限定义解释瞬时变化率和切线斜率。
求导法则：会不会熟练使用四则法则、链式法则、反函数求导、参数方程求导和对数微分法。
高阶导数与中值定理：会不会处理 $n$ 阶导数、罗尔定理、拉格朗日平均值定理和柯西平均值定理。
导数应用：会不会用一阶导数判断增减，用二阶导数判断凹凸、极值和拐点。

如果压缩成一句话，就是：

导数解决“这一瞬间怎么变”，中值定理把瞬时变化率和整体变化量连起来。

一、导数：把平均变化率逼到瞬时

1. 导数的定义

导数来自平均变化率：

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

当 $h\to 0$ 时，如果这个极限存在，就得到 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的导数：

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

也可以写成：

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

这个定义一定要理解，而不只是记公式。证明题、判定题和构造题经常要回到定义。

2. 导数的意义

导数有两个最常见的解释：

几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(a,f(a))$ 处切线的斜率；
物理意义：瞬时变化率，例如位移函数的导数是瞬时速度。

导数本质上描述的是“函数在某一点附近变化得有多快”。

3. 连续与可导的关系

必须分清这两个概念：

可导一定连续；
连续不一定可导。

典型反例是 $f(x)=|x|$ 。它在 $x=0$ 处连续，但不可导，因为左导数为 $-1$ ，右导数为 $1$ 。

做判断题时，不要把“连续”和“光滑”混为一谈。复习时可以把它们看成两层筛子：

先看函数在该点是否连续；
再看左右导数是否存在且相等。

4. 不可导的常见情形

下面几种情况尤其容易考：

左导数和右导数不相等，例如尖点；
切线斜率趋于无穷大，例如竖直切线；
函数在该点剧烈振荡，导数极限不存在；
函数本身在该点不连续。

其中“不连续一定不可导”，但“不可导不一定不连续”。

二、求导法则：从定义过渡到计算

1. 基本求导公式

函数	导数
$C$	$0$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$

公式本身不难，难点通常在于看清函数结构。

2. 四则运算法则

若 $u=u(x)$ 、 $v=v(x)$ ，则：

$(cu)'=cu'$
$(u\pm v)'=u'\pm v'$
$(uv)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ，其中 $v\ne 0$

3. 链式法则

若 $y=f(u)$ 、 $u=g(x)$ ，则

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

做复合函数时，最稳的方式是：

先找外层函数和内层函数；
先对外层求导；
再乘以内层导数。

像 $\sin(x^2)$ 、 $e^{x^3}$ 、 $\ln(1+x^2)$ 这一类题，核心都是链式法则。

4. 反函数与参数方程求导

若 $x=g(y)$ 可导且严格单调，则反函数 $y=g^{-1}(x)$ 的导数为

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}

其中要求 $\dfrac{dx}{dy}\ne 0$ 。

若函数由参数方程

x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t)

给出，且 $\varphi'(t)\ne 0$ ，则

\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

5. 对数微分法

当函数是幂指函数、连乘式、连除式或结构很复杂时，常用对数微分法。

例如

y=f(x)^{g(x)}

通常先两边取自然对数：

\ln y=g(x)\ln f(x)

再求导会更直接。像 $x^x$ 、 $(\sin x)^x$ 这类题，基本都要想到这一步。

常用基础公式是：

\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}

三、高阶导数与函数形状

1. 高阶导数

高阶导数就是对导函数继续求导：

f''(x)=(f'(x))',\qquad f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)'

线性性质为

\{f(x)\pm g(x)\}^{(n)}=f^{(n)}(x)\pm g^{(n)}(x)

乘积的 $n$ 阶导数常用莱布尼茨公式：

\{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)

它的结构和二项式展开相似，尤其适合处理 $x^m e^x$ 、 $x^m\sin x$ 这类题。

2. 一阶、二阶导数与图形

一阶导数看增减，二阶导数看弯曲趋势：

若 $f'(x)>0$ ，函数在该区间递增；
若 $f'(x)<0$ ，函数在该区间递减；
若 $f''(x)>0$ ，曲线凹向上；
若 $f''(x)<0$ ，曲线凹向下。

二阶导数常用于：

判断极值点类型；
判断函数凹凸性；
配合不等式或图像题分析函数形状。

3. 极值与最值

若 $f(x)$ 可导且在 $x=a$ 处取得极值，则

f'(a)=0

注意： $f'(a)=0$ 只是必要条件，不是充分条件。

求最大值、最小值时，一般按这个顺序：

明确函数定义域；
求 $f'(x)$ ；
令 $f'(x)=0$ ，找驻点；
检查不可导点和闭区间端点；
结合 $f''(x)$ 或 $f'(x)$ 的符号变化判断极大、极小和最值。

连续函数在闭区间上的最大值和最小值通常只可能出现在驻点、不可导点或区间端点。

四、中值定理：导数与函数值之间的桥

1. 罗尔定理

若函数 $f(x)$ 满足：

在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
$f(a)=f(b)$ ；

则至少存在一点 $c\in(a,b)$ ，使得

f'(c)=0

几何上，它表示：如果一条连续光滑曲线两端高度相同，那么中间至少有一点的切线是水平的。

2. 拉格朗日平均值定理

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，则至少存在一点 $c\in(a,b)$ ，使得

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

也可以写成

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

几何上，它表示：曲线上至少有一点的切线斜率等于端点割线的斜率。

罗尔定理是拉格朗日平均值定理在 $f(a)=f(b)$ 时的特殊情况。

3. 柯西平均值定理

若 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x)\ne 0$ ，则至少存在一点 $c\in(a,b)$ ，使得

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

当 $g(x)=x$ 时，柯西平均值定理就退化为拉格朗日平均值定理。洛必达法则的证明也依赖柯西平均值定理。

五、公式与定理速查

类型	关键结论	使用提醒
导数定义	$f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$	判定可导时回到定义
链式法则	$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$	先拆外层、内层
反函数求导	$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy}$	要求 $dx/dy\ne0$
参数方程求导	$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$	要求 $dx/dt\ne0$
对数微分	$\dfrac{d}{dx}\ln	f(x)
莱布尼茨公式	$(fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}$	适合多项式乘初等函数
罗尔定理	$f(a)=f(b)\Rightarrow \exists c,\ f'(c)=0$	前提是闭区间连续、开区间可导
拉格朗日中值定理	$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$	连接平均变化率和瞬时变化率
柯西中值定理	$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$	处理两个函数增量之比

六、专题详解与例题

1. 对数微分法

例：求

y=(2x^2+3)^2(3x+1)^3

的导数。

两边取对数：

\ln|y|=2\ln(2x^2+3)+3\ln(3x+1)

两边求导：

\frac{y'}{y} = 2\cdot\frac{4x}{2x^2+3} +3\cdot\frac{3}{3x+1} = \frac{8x}{2x^2+3}+\frac{9}{3x+1}

所以

y' = (2x^2+3)^2(3x+1)^3 \left( \frac{8x}{2x^2+3}+\frac{9}{3x+1} \right)

练习：使用对数微分法求 $y=x^x\ (x>0)$ 的导数。

提示：

两边取对数得到 $\ln y=x\ln x$ ；
对右边使用乘法求导法则；
最后把 $y=x^x$ 代回去。

2. 莱布尼茨公式

例：求 $y=x^2e^x$ 的 $n$ 阶导数。

令 $f(x)=e^x$ 、 $g(x)=x^2$ 。因为 $e^x$ 的各阶导数仍为 $e^x$ ，而

g(x)=x^2,\qquad g'(x)=2x,\qquad g''(x)=2,\qquad g^{(k)}(x)=0\ (k\ge 3)

所以莱布尼茨公式只剩前三项：

y^{(n)} = \binom{n}{0}e^x x^2 +\binom{n}{1}e^x(2x) +\binom{n}{2}e^x\cdot 2

整理得

y^{(n)}=e^x\{x^2+2nx+n(n-1)\}

练习：利用莱布尼茨公式求 $y=x\sin x$ 的 $n$ 阶导数。

提示：

令 $u=\sin x$ 、 $v=x$ ；
使用 $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ ；
因为 $v=x$ 的二阶及以上导数为 $0$ ，公式中只有前两项有效。

3. 罗尔定理

例：验证函数

f(x)=x^3-4x

在区间 $[-2,2]$ 上是否满足罗尔定理，并求出符合结论的 $c$ 。

检查条件：

$f(x)$ 是多项式，在 $[-2,2]$ 上连续；
$f(x)$ 在 $(-2,2)$ 内可导；
$f(-2)=0$ ， $f(2)=0$ ，端点值相等。

因此满足罗尔定理。

求导：

f'(x)=3x^2-4

令 $f'(c)=0$ ：

3c^2-4=0

所以

c=\pm\frac{2}{\sqrt3}

这两个值都在 $(-2,2)$ 内。

4. 平均值定理

例：对 $f(x)=\ln x$ ，在区间 $[1,e]$ 上验证平均值定理，并求出对应的 $c$ 。

函数 $\ln x$ 在 $[1,e]$ 上连续，在 $(1,e)$ 内可导。割线斜率为

\frac{f(e)-f(1)}{e-1} = \frac{1-0}{e-1} = \frac{1}{e-1}

又因为

f'(x)=\frac{1}{x}

令

f'(c)=\frac{1}{e-1}

得到

c=e-1

并且 $1<e-1<e$ ，所以符合平均值定理的结论。

5. 柯西平均值定理

例：设 $f(x)=\sin x$ 、 $g(x)=\cos x$ ，在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上应用柯西平均值定理。

左边为

\frac{f(\pi/2)-f(0)}{g(\pi/2)-g(0)} = \frac{1-0}{0-1} = -1

右边为

\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{\cos c}{-\sin c} = -\cot c

令

-\cot c=-1

得到

c=\frac{\pi}{4}

七、做题提醒

1. 遇到复合函数，优先拆层

很多求导错误不是不会求，而是没看清结构。碰到复杂函数，先问：

最外层是什么；
内层是什么；
有没有必要先取对数；
是否包含反函数、参数方程或隐函数结构。

2. 遇到存在性证明，先匹配定理

证明存在一点使 $f'(c)=0$ ：优先想到罗尔定理；
证明存在一点使瞬时变化率等于平均变化率：优先想到拉格朗日平均值定理；
处理两个函数增量之比：考虑柯西平均值定理。

3. 遇到最值和图像，想到导数符号

一阶导数解决“增减”，二阶导数解决“凹凸”和“极值类型”。图像题、最值题和不等式题通常都要把这两个工具配合起来。

八、复习清单

我能用导数定义解释瞬时变化率。
我能说明连续与可导的关系。
我能判断常见不可导情形。
我能熟练使用四则求导法则和链式法则。
我能处理反函数求导、参数方程求导和对数微分法。
我能写出莱布尼茨公式，并用于简单的 $n$ 阶导数题。
我能区分罗尔定理、拉格朗日平均值定理和柯西平均值定理。
我能用一阶导数判断单调性，用二阶导数判断凹凸性和极值类型。

九、最后串一下微分逻辑

这篇真正要建立的，不只是几条公式，而是一套顺序清楚的思考方式：

先用导数定义把平均变化率压到瞬时变化率；
再用求导法则把定义变成可计算的工具；
再用中值定理连接函数值与导数；
最后把导数用于判号、最值、凹凸和图形分析。

如果这条线能在脑子里连起来，微分部分的大部分题目都不会显得零散。