数列和级数

graph LR
    %% 核心根节点
    Root((<b>数列与级数</b>))
    style Root fill:#FF7043,stroke:#BF360C,stroke-width:3px,color:#fff

    %% 数列部分分支
    subgraph SeqSection [数列部分]
        Seq[<b>数列性质</b>]
        Conv{收敛证明}
        Theorem[重要定理]
        Limit[重要极限]
    end

    Root --- Seq
    Seq --- Conv
    Seq --- Theorem
    Seq --- Limit

    Conv --- Mono[单调有界性质]
    Mono --- Bound[有界性证明]
    Mono --- Monotonic[单调性证明]
    Monotonic --- Indu[数学归纳法]

    Theorem --- Squeeze[夹逼定理<br/>通过构造可以获得极限]

    Limit --- NatE["自然常数 $e$:<br/>$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n$"]

    %% 级数部分分支
    subgraph SerSection [级数部分]
        Ser[<b>级数性质</b>]
        Base[基础概念]
        Judge[判定方法]
        Common[常见级数]
        Power[幂级数]
        Expand[函数展开]
    end

    Root --- Ser
    Ser --- Base
    Ser --- Judge
    Ser --- Common
    Ser --- Power
    Ser --- Expand

    Base --- Sn[部分和 $S_n$]
    Base --- Def[收敛定义: $S_n$ 极限存在]
    Base --- Cond[收敛必要条件: $a_n \to 0$]

    Judge --- Pos[正项级数]
    Pos --- C1[比较判定法]
    Pos --- C2[比值判定法: d'Alembert]
    Pos --- C3[根号判定法: Cauchy]
    Pos --- C4[积分判定法]

    Judge --- Any[任意项级数]
    Any --- A1[绝对收敛: 绝对值级数收敛]
    Any --- A2[条件收敛: 原级数收敛但绝对值发散]
    Any --- A3[交错级数: Leibniz 准则]

    Common --- Geo[几何级数: 公比绝对值小于1收敛]
    Common --- PSer["$p$-级数: $p > 1$ 收敛"]
    PSer --- Har[调和级数 Harmonic series]

    Power --- PCore[核心理论]
    PCore --- R[收敛半径 $R$]
    PCore --- Domain[收敛圆与收敛域]
    Power --- PCalc[计算与性质]
    PCalc --- Ratio[系数比值法求半径]
    PCalc --- Deriv[项别求导: 半径不变]
    PCalc --- Integ[项别积分: 半径不变]

    Expand --- Taylor[泰勒展开式]
    Expand --- Funcs[常用展开: 指数和三角函数]

    %% 样式美化
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    class Seq,Conv,Theorem,Limit,Mono,Bound,Monotonic,Indu,Squeeze,NatE seqStyle
    class Ser,Base,Judge,Common,Power,Expand,Sn,Def,Cond,Pos,Any,Geo,PSer,Har,PCore,PCalc serStyle
    class C1,C2,C3,C4,A1,A2,A3,R,Domain,Ratio,Deriv,Integ,Taylor,Funcs nodeStyle

[TOC]

这一章在讲什么

结合上面的思维导图，这一章的内容可以分成三块：

• 数列：收敛与发散、有界性、单调性、极限性质、夹逼定理。
• 级数：部分和、通项的必要条件、无穷等比级数、正项级数判别法。
• 幂级数：收敛半径、收敛区间、逐项求导与积分。

这篇笔记先把前两部分整理清楚，并在最后补一个幂级数的提纲，方便后续继续展开。

数列的几个基本概念

研究数列，首先要分清几个最基本的词：

• 收敛：若数列 $\{a_n\}$ 当 $n \to \infty$ 时趋向某个确定的常数 $a$，就称其收敛，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。
• 发散：若数列不趋向任何确定的常数，就称其发散。发散不一定是“趋于无穷大”，也可能在几个值之间来回振荡。
• 有界：若存在常数 $M>0$，使得对任意 $n$ 都有 $|a_n| \le M$，则称数列有界。
• 单调：若 $a_{n+1} \ge a_n$，称为单调递增；若 $a_{n+1} \le a_n$，称为单调递减。

做题时，最常见的思路不是直接“猜极限”，而是先判断数列有没有极限，再计算极限是多少。

数列极限的常见处理方式

1. 分子有理化

典型题：

$$\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1}\right)$$

遇到根式相减，最直接的方法就是分子有理化：

$$\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1} = \frac{(n^2+1)-(n^2-1)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}} = \frac{2}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}$$

分母随着 $n$ 增大而趋于无穷大，因此整个式子趋于 $0$。所以

$$\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1}\right)=0$$

这类题的关键不是硬算，而是尽快识别出“根式差”的结构。

2. 用相邻两项的比值看 $\frac{a^n}{n!}$

另一个很常见的数列是

$$x_n=\frac{a^n}{n!}$$

很多人一看到 $a^n$ 就会本能地觉得它增长很快，于是误判极限为 $\infty$。真正决定结果的是分子和分母的增长速度比较。

考察相邻两项之比：

$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}$$

于是

$$\lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=0$$

这说明从某一项开始，后项会比前项小很多，数列最终会趋向于 $0$。因此：

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$$

这个结论也顺手告诉我们：如果把它写成级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}$$

那么它还可以用比值判别法证明绝对收敛。

3. 夹逼定理

夹逼定理是处理“中间项不好直接算，但两边容易控制”的标准工具。

若

$$a_n \le c_n \le b_n$$

并且

$$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=L$$

那么

$$\lim_{n \to \infty} c_n=L$$

它的核心思想很简单：左右两边都逼近同一个数，中间就跑不掉。

有界单调数列收敛定理

这是递推数列极限里最重要的工具之一：

单调且有界的数列一定收敛。

这条定理在题目中的实际用法通常分成两步：

1. 先证明数列有界、单调，从而说明极限存在。
2. 再设极限为 $\alpha$，把递推式两边同时取极限求出 $\alpha$。

例题：递推数列的极限

设

$$a_1=\sqrt{2},\qquad a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\quad(n\in\mathbb{N})$$

求 $\{a_n\}$ 的极限。

第一步：证明有界

用数学归纳法证明

$$0<a_n<2$$

• 当 $n=1$ 时，显然 $0<\sqrt{2}<2$。
• 假设 $0<a_k<2$，则

$$0<a_{k+1}=\sqrt{a_k+2}<\sqrt{4}=2$$

所以对任意 $n$ 都有 $0<a_n<2$，数列有上界 $2$。

第二步：证明单调递增

由递推式可得

$$a_{n+1}^2-a_n^2=(a_n+2)-a_n^2=(2-a_n)(1+a_n)$$

由于已经知道 $0<a_n<2$，所以

$$(2-a_n)(1+a_n)>0$$

从而

$$a_{n+1}^2-a_n^2>0$$

又因为 $a_{n+1}+a_n>0$，于是

$$a_{n+1}-a_n>0$$

即数列单调递增。

第三步：设极限并求值

既然数列单调递增且有上界，它必收敛。设

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$$

对递推式两边取极限：

$$\alpha=\sqrt{\alpha+2}$$

平方后得到

$$\alpha^2=\alpha+2$$

即

$$\alpha^2-\alpha-2=0$$

解得

$$\alpha=2\quad\text{或}\quad\alpha=-1$$

由于 $a_n>0$，极限不可能是负数，所以

$$\alpha=2$$

因此，这个递推数列的极限是

$$\lim_{n\to\infty}a_n=2$$

递推数列题目的固定模板

以后再遇到类似题目，可以直接按这个顺序做：

1. 先证有界。
2. 再证单调。
3. 用“有界单调数列收敛定理”说明极限存在。
4. 设极限为 $\alpha$，代回递推式求值。

这个模板比单纯背答案更重要。

从数列到级数

级数本质上是“部分和数列”

对级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

我们真正研究的不是符号本身，而是它的部分和数列

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$$

如果 $\{S_n\}$ 收敛，就称级数收敛；如果 $\{S_n\}$ 发散，就称级数发散。

所以，级数问题最终还是数列问题。

级数收敛的必要条件

如果

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

收敛，那么必有

$$a_n\to 0\qquad(n\to\infty)$$

注意这只是必要条件，不是充分条件。
也就是说，$a_n\to 0$ 并不能推出级数一定收敛，例如调和级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

就发散。

常见的几类级数

• 无穷等比级数：$\sum ar^{n}$ 或 $\sum ar^{n-1}$。
• $p$ 级数：$\sum \frac{1}{n^p}$，其中调和级数是 $p=1$ 的特例。
• 正项级数：各项都非负，常用比较、根值、比值、积分等方法判别。
• 交错级数：符号正负交替，常和莱布尼茨判别法一起出现。

无穷等比级数

若公比为 $r$，则

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

当且仅当 $|r|<1$ 时收敛，而且其和为

$$\frac{a}{1-r}$$

如果 $|r|\ge 1$，则级数发散。

这是所有级数判别中最基础的一类。

正项级数的常见判别法

正项级数指的是满足 $a_n\ge 0$ 的级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

它们的判别法是考试中最常出现的一部分。

1. 比较判别法

若存在常数 $C>0$，使得对充分大的 $n$ 有

$$0\le a_n\le Cb_n$$

则：

• 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 也收敛。
• 若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 也发散。

比较判别法最适合用来和标准模型比较，比如：

• $\sum \frac{1}{n^p}$
• $\sum ar^n$

2. 柯西根值判别法

考察

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=r$$

则：

• 若 $r<1$，级数收敛。
• 若 $r>1$，级数发散。
• 若 $r=1$，无法判断。

它适合处理含有 $n$ 次方、指数幂的表达式。

3. 达朗贝尔比值判别法

考察

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$$

则：

• 若 $r<1$，级数收敛。
• 若 $r>1$，级数发散。
• 若 $r=1$，无法判断。

当题目中出现 阶乘、指数、连乘积 这类结构时，比值判别法往往最顺手。

比如

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}$$

就是它的典型应用场景。

4. 积分判别法

若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续、正、单调递减，且 $f(n)=a_n$，那么

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

与广义积分

$$\int_1^{\infty}f(x)\,dx$$

同敛散。

它特别适合处理 $\sum \frac{1}{n^p}$ 这类可以自然延拓成函数的问题。

收敛的几种类型

思维导图里还提到了三个经常一起出现的概念：

• 绝对收敛：$\sum |a_n|$ 收敛。
• 条件收敛：$\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|$ 发散。
• 交错级数收敛：常用莱布尼茨判别法。

如果一个级数绝对收敛，那么它一定收敛；但反过来不一定。

对于交错级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n$$

若满足

$$b_n\ge 0,\qquad b_{n+1}\le b_n,\qquad b_n\to 0$$

则该级数收敛。这就是莱布尼茨判别法。

幂级数：后续复习的提纲

从导图来看，这一章后面还会进入幂级数部分，常见关键词有：

• 收敛半径（radius of convergence）
• 收敛区间（interval of convergence）
• 逐项求导
• 逐项积分
• 泰勒展开

这部分通常建立在前面的比值判别法基础上，所以前面的内容一定要先吃透。

小结

这一章最值得记住的不是零碎结论，而是一套稳定的解题顺序：

• 数列先看是否有界、是否单调，再谈极限。
• 递推数列先证收敛，再设极限求值。
• 级数先转成部分和数列理解。
• 正项级数优先识别比较、根值、比值、积分这几种典型判别法。

如果只保留一条主线，那就是：先判断结构，再选工具，不要一上来就硬算。