【【公开课】 信號與系統 - 臺灣科技大學 - 黃騰毅教授】 https://www.bilibili.com/video/BV1PE411X7b8/?p=21&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

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傅里叶变换性质与周期信号谱分析整理笔记

导言：如何“转个弯”用傅里叶变换解决周期信号？

在之前的学习中，我们通常使用傅里叶级数（FS）来分析周期信号（Periodic Signals），而使用傅里叶变换（FT）来分析非周期信号（Aperiodic Signals）。

然而，傅里叶变换实际上可以同时应用到周期和非周期信号上。 遇到周期信号时，我们需要“转个弯”：先用傅里叶级数将其展开为多个复指数单频分量，再通过引入狄拉克冲激函数 $\delta(\omega)$ 分别对每个分量求傅里叶变换。

一、 周期信号的傅里叶变换

1. 理论推导

一个周期为 $T_0$ 的连续周期信号 $x(t)$ 可以展开为指数形式的傅里叶级数：

$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \quad \left(\text{其中 } \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}\right)$

我们知道，单频复指数信号 $e^{j \omega_0 t}$ 的连续傅里叶变换（FT）为：

$\mathcal{F}\{e^{j \omega_0 t}\} = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$

根据傅里叶变换的线性性质，对周期信号 $x(t)$ 的两边同时求傅里叶变换，可得：

$\boxed{X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi a_k \delta(\omega - k \omega_0)}$

2. 经典例题：连续冲激串（Impulse Train）的傅里叶变换

【题目】 已知连续冲激串信号 $p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - n T_s)$，求其傅里叶变换 $P(j\omega)$。

【标准求解步骤 (SOP)】

• Step 1：变成傅里叶级数形式 由于 $p(t)$ 是以 $T_s$ 为周期的信号，其基波角频率为 $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s}$。我们可以将其表示为傅里叶级数：

  $p(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{j k \omega_s t}$

• Step 2：求取傅里叶系数 $a_k$ 取一个周期区间 $\left[-\frac{T_s}{2}, \frac{T_s}{2}\right]$ 进行积分。由于该区间内只有 $t=0$ 处有一个冲激信号 $\delta(t)$：

  $a_k = \frac{1}{T_s} \int_{-T_s/2}^{T_s/2} \delta(t) e^{-j k \omega_s t} dt$

  根据冲激函数的筛选性质（Sifting Property），当 $t=0$ 时，$e^{0} = 1$，上式可化简为：

  $a_k = \frac{1}{T_s} \cdot 1 = \frac{1}{T_s}$

  由此得到 $p(t)$ 的傅里叶级数展开式为：

  $p(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T_s} e^{j k \omega_s t}$

• Step 3：对每一项求傅里叶变换 利用上面推导出的周期信号傅里叶变换通用公式，直接求得：

  $P(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T_s} \cdot 2\pi \delta(\omega - k \omega_s) = \boxed{\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{2\pi}{T_s} \delta(\omega - k \omega_s)}$

【物理意义】 时域上的周期冲激串在频域上依然是冲激串。时域里的脉冲间隔为 $T_s$，而频域里的频谱脉冲间隔为 $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s}$。二者的疏密程度呈反比关系。

我们可以通过一个最经典的周期信号——正弦信号 $f(t) = \sin(\omega_0 t)$，来完整走一遍这个从“傅里叶级数（FS）”跨越到“傅里叶变换（FT）”的过程。

通过这个例子，你不仅能看到冲激函数 $\delta(\omega)$ 是如何把周期信号拉进傅里叶变换大门的，还能直观理解为什么时域的周期信号，在频域一定会变成离散的谱线。

💡 核心思路三步走

1. 写出原信号：确定我们要处理的周期信号。
2. 傅里叶级数展开：利用欧拉公式，直接将其拆解为复指数单频分量。
3. 引入 $\delta(\omega)$ 求变换：利用已知虚指数信号的傅里叶变换性质，逐项求变换并相加。

🛠️ 实战演练：以 $f(t) = \sin(\omega_0 t)$ 为例

假设我们要对基频为 $\omega_0$ 的正弦波 $f(t) = \sin(\omega_0 t)$ 进行处理。它的周期为 $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$。

第一步：展开为复指数单频分量（级数展开）

对于正弦和余弦这种简单的三角函数，我们不需要去硬套复杂的积分公式来求傅里叶系数 $C_n$，直接祭出欧拉公式即可：

$\sin(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j}$

为了更符合傅里叶级数 $\sum C_n e^{jn\omega_0 t}$ 的标准形式，我们把它稍微变形一下：

$f(t) = \frac{1}{2j}e^{j\omega_0 t} - \frac{1}{2j}e^{-j\omega_0 t}$

进一步化简（因为 $\frac{1}{j} = -j$）：

$f(t) = \underbrace{\left(-\frac{j}{2}\right)}_{C_1} e^{j\omega_0 t} + \underbrace{\left(\frac{j}{2}\right)}_{C_{-1}} e^{-j\omega_0 t}$

此时，我们已经完成了第一步：

信号被成功拆成了两个复指数单频分量：

• 分量 1：频率为 $+\omega_0$，振幅（系数）为 $-\frac{j}{2}$
• 分量 2：频率为 $-\omega_0$，振幅（系数）为 $\frac{j}{2}$

第二步：引入狄拉克冲激函数 $\delta(\omega)$

在普通函数意义上，虚指数信号 $e^{j\omega_0 t}$ 是不满足绝对可积条件的，所以常规的傅里叶变换积分会发散。但引入广义函数——狄拉克冲激函数后，我们拥有了一个极其重要的基础变换对：

核心工具：

$\mathcal{F}[e^{j\omega_0 t}] = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$

这个公式的物理意义很直观：一个永不衰减、频率为 $\omega_0$ 的纯复指数信号，在频域上的能量完全集中在 $\omega = \omega_0$ 这一幅值无限大、宽度无限窄的“点”上。

同理，对于负频率分量：

$\mathcal{F}[e^{-j\omega_0 t}] = 2\pi \delta(\omega + \omega_0)$

第三步：逐项求傅里叶变换

根据傅里叶变换的线性性质（即各项相加的变换等于各自变换后相加），我们直接对第一步得到的两个分量求变换：

$F(\omega) = \mathcal{F}\left[ C_1 e^{j\omega_0 t} + C_{-1} e^{-j\omega_0 t} \right]$

$F(\omega) = \left(-\frac{j}{2}\right) \cdot \mathcal{F}[e^{j\omega_0 t}] + \left(\frac{j}{2}\right) \cdot \mathcal{F}[e^{-j\omega_0 t}]$

将第二步的冲激函数公式代入：

$F(\omega) = \left(-\frac{j}{2}\right) \cdot 2\pi \delta(\omega - \omega_0) + \left(\frac{j}{2}\right) \cdot 2\pi \delta(\omega + \omega_0)$

约掉系数中的 $2$：

$F(\omega) = -j\pi \delta(\omega - \omega_0) + j\pi \delta(\omega + \omega_0)$

调整一下顺序，最终得到 $\sin(\omega_0 t)$ 的傅里叶变换为：

$F(\omega) = j\pi \delta(\omega + \omega_0) - j\pi \delta(\omega - \omega_0)$

📊 结果的物理意义是什么？

如果我们把最终得到的 $F(\omega)$ 画在频域坐标轴上，你会看到：

• 在 $\omega = -\omega_0$ 处，有一个强度为 $j\pi$ 的冲激谱线。
• 在 $\omega = +\omega_0$ 处，有一个强度为 $-j\pi$ 的冲激谱线。

这就是完美的离散线状谱。

💡 举一反三的统一公式

通过这个例题的推导逻辑，我们可以推广到任意周期信号：

如果一个周期信号的傅里叶级数展开为 $f(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty} C_n e^{jn\omega_0 t}$，那么它的傅里叶变换只需要闭着眼睛套用冲激函数：

$F(\omega) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n \delta(\omega - n\omega_0)$

通过这种方法，傅里叶级数（处理周期信号）和傅里叶变换（处理非周期信号）在数学框架上被完美地统一在了一起。

二、 时移性质 (Delay Property)

1. 数学表述

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，则：

$\boxed{x(t - t_d) \longleftrightarrow e^{-j\omega t_d} X(j\omega)}$

2. 数学证明

根据傅里叶变换的定义：

$\mathcal{F}\{x(t - t_d)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t - t_d) e^{-j\omega t} dt$

令 $\tau = t - t_d$，则 $t = \tau + t_d$，微分项 $dt = d\tau$。当 $t \to \pm\infty$ 时，$\tau \to \pm\infty$ 保持不变。代入积分得：

$\mathcal{F}\{x(t - t_d)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) e^{-j\omega (\tau + t_d)} d\tau = e^{-j\omega t_d} \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau = e^{-j\omega t_d} X(j\omega)$

证明完毕。

3. 系统角度的理解 (卷积思想)

除了公式形式证明外，还可以站在 LTI 系统的角度来理解时移：

1. 信号延迟 $t_d$ 可以看作是将输入信号 $x(t)$ 送入一个“理想延迟系统”。该系统的单位冲激响应为 $h(t) = \delta(t - t_d)$。

2. 在时域上，输出信号 $y(t)$ 是输入与冲激响应的卷积：

   $y(t) = x(t) * \delta(t - t_d) = x(t - t_d)$

3. 理想延迟系统的频率响应 $H(j\omega)$ 是 $h(t)$ 的傅里叶变换：

   $H(j\omega) = \mathcal{F}\{\delta(t - t_d)\} = e^{-j\omega t_d}$

4. 根据时域卷积定理，频域对应相乘：

   $Y(j\omega) = X(j\omega) \cdot H(j\omega) = X(j\omega) e^{-j\omega t_d}$

4. 经典应用例题

【题目】 已知单边指数衰减信号 $e^{-at} u(t) \longleftrightarrow \frac{1}{a + j\omega} \ (a > 0)$。求延迟信号 $e^{-a(t-5)} u(t-5)$ 的傅里叶变换。

【解答】 观察可知，待求信号相当于原信号 $x(t) = e^{-at} u(t)$ 向右平移了 $t_d = 5$ 个单位。 直接应用时移性质：

$\mathcal{F}\{e^{-a(t-5)} u(t-5)\} = \boxed{\frac{1}{a + j\omega} e^{-j 5 \omega}}$

三、 频移性质 (Frequency Shift)

1. 数学表述

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，则：

$\boxed{x(t) e^{j \omega_0 t} \longleftrightarrow X(j(\omega - \omega_0))}$

💡 口诀提示（时移同，频移反）：

• 时移：自变量减 $t_d$，对应频域乘上带负号的指数项 $e^{-j\omega t_d}$。
• 频移：时域乘上带正号的指数项 $e^{j\omega_0 t}$，对应频域自变量减去 $\omega_0$，即 $X(j(\omega - \omega_0))$。

2. 数学证明

对方程式左边求积分：

$\mathcal{F}\{x(t) e^{j \omega_0 t}\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ x(t) e^{j \omega_0 t} \right] e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j(\omega - \omega_0) t} dt$

对比傅里叶变换定义式 $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$，上式中的 $\omega$ 被代换为了 $\omega - \omega_0$。 故：

$\mathcal{F}\{x(t) e^{j \omega_0 t}\} = X(j(\omega - \omega_0))$

证明完毕。

3. 补充应用例题（调制与频谱搬移）

【题目】 已知一个基带信号 $y(t) = \frac{\sin(7t)}{\pi t}$。

1. 求其傅里叶变换 $Y(j\omega)$。
2. 若将该信号乘上复指数信号 $e^{j\omega_0 t}$，求调制后信号 $g(t) = y(t) e^{j\omega_0 t}$ 的频谱。

【解答】

1. 信号 $y(t) = \frac{\sin(7t)}{\pi t}$ 是典型的 Sinc 函数形式。我们知道 $\frac{\sin(Wt)}{\pi t} \longleftrightarrow \text{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)$。 这里 $W = 7$，故其频谱 $Y(j\omega)$ 是一个低通对称矩形谱：

   $Y(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| < 7 \\ 0, & |\omega| > 7 \end{cases}$

2. 根据频移性质，调制后信号 $g(t) = y(t) e^{j\omega_0 t}$ 的频谱将整体平移 $\omega_0$：

   $G(j\omega) = Y(j(\omega - \omega_0)) = \begin{cases} 1, & \omega_0 - 7 < \omega < \omega_0 + 7 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

【图形化展示说明】 在时域相乘前，原频谱矩形中心位于 $\omega = 0$ 处，宽度为 $14$（范围为 $[-7, 7]$）；时域乘上复指数信号后，整个三角形或矩形频谱将整体搬移，使得新频谱中心对准 $\omega_0$：

       原基带频谱 Y(jω)                         调制后频谱 G(jω)
            ┌───┐                                    ┌───┐
            │   │                                    │   │
     ───────┴───┴─────── ──> ω                ───────┴───┴─────── ──> ω
           -7   7                                  ω₀-7 ω₀+7
            (中心为 0)                              (中心为 ω₀)

四、 尺度变换性质 (Scaling Property)

1. 数学表述

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，对于任意非零实数 $a$：

$\boxed{x(at) \longleftrightarrow \frac{1}{|a|} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)}$

2. 分情况严格证明

根据定义：

$\mathcal{F}\{x(at)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(at) e^{-j\omega t} dt$

设 $\tau = at$，则 $t = \frac{\tau}{a}$ 且 $dt = \frac{d\tau}{a}$。

• 情况 1：当 $a > 0$ 时： 由于 $a$ 为正数，积分上下限保持不变（$t \to \pm\infty \implies \tau \to \pm\infty$）：

  $\mathcal{F}\{x(at)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) e^{-j\omega \frac{\tau}{a}} \frac{d\tau}{a} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) e^{-j\left(\frac{\omega}{a}\right) \tau} d\tau = \frac{1}{a} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)$

• 情况 2：当 $a < 0$ 时： 由于 $a$ 为负数，积分上下限颠倒（当 $t \to -\infty$ 时 $\tau \to +\infty$，反之亦然）：

  $\mathcal{F}\{x(at)\} = \int_{+\infty}^{-\infty} x(\tau) e^{-j\omega \frac{\tau}{a}} \frac{d\tau}{a} = -\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) e^{-j\left(\frac{\omega}{a}\right) \tau} d\tau$

  由于 $a < 0$，其绝对值满足 $-a = |a| \implies -\frac{1}{a} = \frac{1}{|a|}$。 因此：

  $\mathcal{F}\{x(at)\} = \frac{1}{|a|} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)$

综合以上两种情况：

$\mathcal{F}\{x(at)\} = \frac{1}{|a|} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)$

证明完毕。

3. 物理意义：时频互补

1. 时域压缩（变瘦），频域展宽（变胖）：若 $|a| > 1$，说明信号在时域上被压缩（信号变化更快），其频带范围会向外扩展，幅度同时衰减为 $\frac{1}{|a|}$。因为更陡峭的时域跳变需要更丰富的高频分量。
2. 时域展宽（变胖），频域压缩（变瘦）：若 $0 < |a| < 1$，信号在时域被放慢拉宽，在频域其带宽则会变窄（高频分量减少）。
3. 极限物理推论： 时域高度集中的冲激信号 $\delta(t)$（时宽接近 $0$），其傅里叶变换在全频域值为 $1$（带宽为无无穷大）。这印证了“时间越短，频宽越宽”。在高速数字信号传输中，由于开关切换速度极快，系统所要求的传输带宽必须非常巨大。

4. 补充应用例题

【题目】 已知双边指数衰减信号 $x(t) = e^{-|t|}$ 的傅里叶变换为 $X(j\omega) = \frac{2}{1 + \omega^2}$。求信号 $y(t) = e^{-|3t|}$ 的傅里叶变换。

【解答】 显然，这里 $a = 3$。应用尺度变换公式可得：

$Y(j\omega) = \frac{1}{|3|} X\left(j\frac{\omega}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1 + \left(\frac{\omega}{3}\right)^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{\frac{9 + \omega^2}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{18}{9 + \omega^2} = \boxed{\frac{6}{9 + \omega^2}}$

五、 时域微分性质 (Differential Property)

1. 数学表述

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，则信号导数的傅里叶变换为：

$\boxed{\frac{d x(t)}{dt} \longleftrightarrow j\omega X(j\omega)}$

2. 数学证明（利用反变换公式）

利用傅里叶反变换（Synthesis Equation）定义式：

$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

对等式两边关于时间 $t$ 求导：

$\frac{d x(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \right]$

将导数算子移入积分号内部（由于积分变量是 $\omega$，因此求导只对包含 $t$ 的指数项起作用）：

$\frac{d x(t)}{dt} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) \left( \frac{d(e^{j\omega t})}{dt} \right) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ j\omega X(j\omega) \right] e^{j\omega t} d\omega$

对比反变换格式，括号中的部分 $\left[ j\omega X(j\omega) \right]$ 显然就是微分后信号 $\frac{dx(t)}{dt}$ 的傅里叶变换。 故：

$\mathcal{F}\left\{\frac{d x(t)}{dt}\right\} = j\omega X(j\omega)$

证明完毕。

3. 经典例题

【题目】 已知单边指数信号 $x(t) = e^{-at} u(t) \longleftrightarrow \frac{1}{a + j\omega} \ (a > 0)$。求信号 $g(t) = \frac{d}{dt} \left[ e^{-at} u(t) \right]$ 的傅里叶变换。

【解答】 利用时域微分性质，由于微分一次对应在频域乘以一个 $j\omega$，因此：

$\mathcal{F}\left\{\frac{d}{dt} (e^{-at} u(t))\right\} = j\omega \cdot \mathcal{F}\{e^{-at} u(t)\} = \boxed{\frac{j\omega}{a + j\omega}}$

六、 卷积性质 (Convolution Property)

1. 数学表述

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，$h(t) \longleftrightarrow H(j\omega)$，则：

$\boxed{x(t) * h(t) \longleftrightarrow X(j\omega) \cdot H(j\omega)}$

💡 核心结论： 时域的卷积运算，转换到频域之后简化成了普通的代数乘法。这极大地便利了对线性时不变（LTI）系统输出的分析与求解。

2. 经典例题：双 Sinc 信号的时域卷积

【题目】 已知时域信号 $x_1(t) = \frac{\sin(100\pi t)}{\pi t}$，系统冲激响应 $h(t) = \frac{\sin(200\pi t)}{\pi t}$。求该系统的时域输出 $y(t) = x_1(t) * h(t)$。

【标准求解步骤 (SOP)】

• Step 1：转换到频域中求乘积 如果直接在时域做卷积积分，计算会非常繁琐。我们“转个弯”，利用卷积定理在频域求解：

  $Y(j\omega) = X_1(j\omega) \cdot H(j\omega)$

• Step 2：求取输入与频响的矩形谱 根据标准变换对 $\frac{\sin(Wt)}{\pi t} \longleftrightarrow \text{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)$：

  • 对于 $x_1(t)$，基带半带宽为 $W_1 = 100\pi$：

    $X_1(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| < 100\pi \\ 0, & |\omega| > 100\pi \end{cases}$

  • 对于 $h(t)$，基带半带宽为 $W_2 = 200\pi$：

    $H(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| < 200\pi \\ 0, & |\omega| > 200\pi \end{cases}$

• Step 3：频域矩形谱相乘 在频域中，这是一个“窄矩形”乘以“宽矩形”的过程：

  • $X_1(j\omega)$ 的频带在 $[-100\pi, 100\pi]$ 之间，高度为 $1$。
  • $H(j\omega)$ 的频带在 $[-200\pi, 200\pi]$ 之间，高度为 $1$。

  两者的重叠乘积取决于窄区间部分。因此相乘结果仍然等于原窄矩形本身：

  $Y(j\omega) = X_1(j\omega) \cdot H(j\omega) = \begin{cases} 1 \cdot 1 = 1, & |\omega| < 100\pi \\ 0, & |\omega| > 100\pi \end{cases} = X_1(j\omega)$

     X₁(jω) (输入频谱)               H(jω) (系统频响)              Y(jω) (输出频谱)
         ┌───┐                          ┌───────┐                      ┌───┐
         │ 1 │                          │   1   │                      │ 1 │
   ──────┴───┴──────              ──────┴───────┴──────          ──────┴───┴──────
       -100π 100π                     -200π   200π                   -100π 100π

• Step 4：求反变换得到输出 $y(t)$ 由于输出频谱 $Y(j\omega)$ 与输入频谱 $X_1(j\omega)$ 完全相同，直接进行反变换可得：

  $y(t) = \mathcal{F}^{-1}\{Y(j\omega)\} = \boxed{\frac{\sin(100\pi t)}{\pi t}}$

【物理意义】 当一个带宽较窄的低通信号（小盒子）通过一个通带更宽的理想低通系统（大盒子）时，由于信号中所有的频域分量均能毫无损伤地通过该系统，因此输出信号将完美地“维持原状”。

七、 时域相乘性质 (Multiplication Property)

1. 数学表述

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，$y(t) \longleftrightarrow Y(j\omega)$，则：

$\boxed{x(t) \cdot y(t) \longleftrightarrow \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * Y(j\omega)}$

⚠️ 注意： 时域的乘法对应频域的卷积运算，但频域结果前必须带上系数 $\frac{1}{2\pi}$。这是由于傅里叶反变换公式中含有分母 $2\pi$ 导致的。

2. 数学推导与证明

设 $w(t) = x(t) y(t)$。求其傅里叶变换：

$W(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) y(t) e^{-j\omega t} dt$

将 $x(t)$ 代换为它的傅里叶反变换形式（为了不与外层自变量混淆，内层反变换频域积分变量设为 $\theta$）：

$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\theta) e^{j\theta t} d\theta$

代入 $W(j\omega)$ 积分中：

$W(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\theta) e^{j\theta t} d\theta \right] y(t) e^{-j\omega t} dt$

交换积分顺序，把与 $t$ 无关的项（包括 $\theta$ 的单项）提到最外层：

$W(j\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\theta) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) e^{-j(\omega - \theta) t} dt \right] d\theta$

注意到方括号内的积分，其核心格式正好符合 $y(t)$ 傅里叶变换定义在频率为 $\omega - \theta$ 处的值：

$\int_{-\infty}^{+\infty} y(t) e^{-j(\omega - \theta) t} dt = Y(j(\omega - \theta))$

代回，得：

$W(j\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\theta) Y(j(\omega - \theta)) d\theta$

根据频域积分卷积公式定义，上式可以写为：

$W(j\omega) = \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * Y(j\omega)$

证明完毕。

3. 补充经典应用例题：正弦幅度调制（AM）

【题目】 在通信原理中，发送端信号需要搬移到高频带才能发射。设基带信号为 $x(t)$，其频谱为 $X(j\omega)$，载波信号为余弦信号 $y(t) = \cos(\omega_c t)$。求调制信号 $w(t) = x(t) \cos(\omega_c t)$ 的傅里叶变换 $W(j\omega)$。

【解答】

1. 确定载波信号的频谱：

   $y(t) = \cos(\omega_c t) \longleftrightarrow Y(j\omega) = \pi [\delta(\omega - \omega_c) + \delta(\omega + \omega_c)]$

2. 采用相乘性质求频域卷积：

   $W(j\omega) = \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * Y(j\omega) = \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * \left( \pi [\delta(\omega - \omega_c) + \delta(\omega + \omega_c)] \right)$

   提取常数因子：

   $W(j\omega) = \frac{1}{2} X(j\omega) * \left[ \delta(\omega - \omega_c) + \delta(\omega + \omega_c) \right]$

3. 根据冲激函数的卷积平移性质 $A(\omega) * \delta(\omega - \omega_0) = A(\omega - \omega_0)$，展开上式得：

   $W(j\omega) = \boxed{\frac{1}{2} \left[ X(j(\omega - \omega_c)) + X(j(\omega + \omega_c)) \right]}$

【物理物理结论】 时域中将信号乘以频率为 $\omega_c$ 的余弦信号，在频域中代表将原低通频谱 $X(j\omega)$ 均分为两半，分别搬移（调制）到 $\pm \omega_c$ 的高频位置。

八、 傅里叶变换基本性质汇总表

性质名称	时域表示 $x(t)$	频域表示 $X(j\omega)$	备注说明
线性性质	$a x_1(t) + b x_2(t)$	$a X_1(j\omega) + b X_2(j\omega)$	积分运算的天然线性特性
时移性质	$x(t - t_d)$	$X(j\omega) e^{-j\omega t_d}$	时延对应频域的相角位移
频移性质	$x(t) e^{j \omega_0 t}$	$X(j(\omega - \omega_0))$	频移代表调制，符号与时移相反
尺度变换	$x(at)$	$\frac{1}{\vert a \vert} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)$	时缩频伸；时伸频缩（互补性）
时域微分	$\frac{d x(t)}{dt}$	$j\omega X(j\omega)$	微分简化为频域的代数相乘
时域卷积	$x(t) * h(t)$	$X(j\omega) H(j\omega)$	LTI 系统分析核心定理
时域相乘	$x(t) y(t)$	$\frac{1}{2\pi} X(j\omega) * Y(j\omega)$	相乘对应卷积，注意系数 $\frac{1}{2\pi}$