• Fourier Transform of Cos
• Fourier Transform of Cos with Phase Shift
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第 4 章 连续时间傅里叶变换 (CTFT)

4.0 引言

非周期信号可以看作是周期趋于无限大的周期信号。

• 物理直观： 当周期 $T \to \infty$ 时，基波频率 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T} \to 0$。
• 频谱演变： 随着周期的增大，频谱中的谐波分量在频率轴上靠得越来越近，最终从离散的谱线演变成连续的谱域。

4.1 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

1. 建立思想 (Derivation)

为了研究非周期信号 $x(t)$，我们构造一个周期信号 $\tilde{x}(t)$，使其在一个周期内等于 $x(t)$，并让 $T \to \infty$。

根据傅里叶级数（FS）：

$\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}$

其中系数 $a_k$ 为：

$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt$

2. 包络信号与极限过程

定义包络函数 $X(j\omega)$（即傅里叶变换）：

$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$

对比可知，傅里叶级数系数可以表示为包络的样本：

$T a_k = X(j\omega) \Big|_{\omega = k \omega_0} \implies a_k = \frac{1}{T} X(j k \omega_0)$

代入 $\tilde{x}(t)$ 的表达式，并利用 $\frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}$：

$\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{1}{2\pi} X(j k \omega_0) e^{j k \omega_0 t} \right] \omega_0$

当 $T \to \infty$ 时，$\omega_0 \to d\omega$，$k\omega_0 \to \omega$，求和变为积分：

$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

3. 傅里叶变换对 (The CTFT Pair)

• 正变换 (Analysis Equation):

  $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$

• 反变换 (Synthesis Equation):

  $x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

  我们会发现，正变换与反变换中 积分内部的 $e^{-j \omega t}$ 的顺序和 计算$a_k$也就是傅里叶级数的时候截然相反

  你只需要想想 $X(jw)=T \times a_k$ 就能理解其中的原因了。

要点总结 ：

• 时域脉冲宽度与频域 Sinc 函数具有反比关系：时域信号 $x(t)$ 越宽，频域能量越集中（变窄）。
• 周期信号的系数 $a_k$ 是其单周期对应非周期信号变换 $X(j\omega)$ 的等间隔采样。

4. 直观理解：从周期到非周期的物理图像

这是一个非常深刻的物理直觉。从周期信号过渡到非周期信号，本质上是一个”周期无限外推”的过程。

你可以想象：一个周期为 $T$ 的方波，如果我们让 $T \to \infty$，相邻两个脉冲之间的距离就会变得无限远，最终在观察范围内就只剩下一个孤立的矩形脉冲。

以下是推导的三个关键步骤：

1. 频谱密度的引入

对于周期信号，我们有傅里叶级数系数 $a_k$。当 $T$ 变得非常大时，基波角频率 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 会变得非常小（趋近于无穷小量 $\Delta\omega$）。

此时，原本离散的谱线会靠得越来越近，最终连成一条连续的曲线。我们定义这条曲线为频谱密度 $X(j\omega)$：

$X(j\omega) = \lim_{T \to \infty} (a_k \cdot T)$

2. 数学代换

我们已知周期方波（幅度为 1，宽度为 $2T_1$）的系数是：

$a_k = \frac{2\sin(k\omega_0 T_1)}{k\omega_0 T}$

将这个 $a_k$ 代入上面的密度定义式中：

$X(j\omega) = \lim_{T \to \infty} \left( \frac{2\sin(k\omega_0 T_1)}{k\omega_0 T} \cdot T \right)$

这里的 $T$ 被约掉了。同时，随着 $T \to \infty$，离散的频率点 $k\omega_0$ 变成了连续变量 $\omega$：

$X(j\omega) = \frac{2\sin(\omega T_1)}{\omega}$

3. 物理意义的转化

在这个推导过程中，发生了两个核心变化：

• 从”强度”到”密度”：在周期信号中，$a_k$ 代表具体的幅度（单位是伏特 V）。在单脉冲信号中，$X(j\omega)$ 代表的是频谱密度（单位是伏特/赫兹 V/Hz）。

• 求和变积分：傅里叶级数的求和公式 $\sum a_k e^{jk\omega_0 t}$，在 $T \to \infty$ 的极限下，演变成了傅里叶逆变换的积分公式 $\frac{1}{2\pi} \int X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$。

总结

当你让周期 $T$ 消失（趋于无穷）时，原本分摊在每个谐波上的权重 $1/T$ 被抵消了，留下的就是那个描述脉冲形状的核心函数。

这也就是为什么：

• 周期方波：频谱是”梳状”的，包络线是 $\text{Sa}$ 函数。
• 单矩形脉冲：频谱直接就是那条连续的 $\text{Sa}$ 函数曲线。

这种从周期到非周期的演变，正是当年傅里叶提出”傅里叶变换”来解决非周期热传导问题的核心逻辑。

4.2 常见信号的傅里叶变换对

指数信号变换对

• 时域信号 $x(t)$： $e^{-at}u(t), \quad a > 0$
• 频域变换 $X(j\omega)$： $\displaystyle \frac{1}{a + j\omega}$

当$a=0$的时候，转换为$u(t)$的变换

因为不稳定，所以没有频率响应

单位冲激函数变换对

• 时域信号 $x(t)$： $\delta(t)$
• 频域变换 $X(j\omega)$： $1$

矩形脉冲信号变换对

• 时域信号 $x(t)$：

  $x(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T_1 \\ 0, & |t| > T_1 \end{cases}$

• 频域变换 $X(j\omega)$： $\displaystyle 2\frac{\sin \omega T_1}{\omega}$

4.3 周期信号的傅里叶变换

周期信号虽然不满足绝对可积条件，但可以通过引入冲激函数 $\delta(\omega)$ 来表示其傅里叶变换。

1. 核心结论

若周期信号 $x(t)$ 的傅里叶级数系数为 $a_k$，则其傅里叶变换为一组位于谐波频率上的冲激序列：

$X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi a_k \delta(\omega - k \omega_0)$

2. 例题：周期方波的傅里叶变换 (参考 image_49b65f.jpg)

题目： 已知周期方波信号，在一个周期内满足：

$x(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T_1 \\ 0, & T_1 < |t| < T/2 \end{cases}$

求解步骤：

1. 求傅里叶级数系数 $a_k$：

   $a_k = \frac{\sin(k \omega_0 T_1)}{k \pi} = \frac{2 \sin(k \omega_0 T_1)}{k \omega_0 T}$

2. 利用公式转化为傅里叶变换：

   $X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi \cdot \frac{2 \sin(k \omega_0 T_1)}{k \omega_0 T} \delta(\omega - k \omega_0)$

   代入 $\omega_0 T = 2\pi$，化简得：

   $X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin(k \omega_0 T_1)}{k} \delta(\omega - k \omega_0)$

4.4 连续时间傅里叶变换的性质

1. 基本性质

• 线性 (Linearity): $ax(t) + by(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} aX(j\omega) + bY(j\omega)$
• 时移 (Time Shifting): $x(t - t_0) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j \omega t_0} X(j\omega)$
  • 注：时移不改变幅度谱，只引入线性相位偏移。
• 共轭性质 (Conjugation): $x^*(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X^*(-j\omega)$

2. 实信号的对称性 (Symmetry for Real Signals)

若 $x(t)$ 为实信号（$x(t) = x^*(t)$），则满足：

$X(j\omega) = X^*(-j\omega)$

由此可推出：

1. 幅度谱 $|X(j\omega)|$： 偶对称（$|X(j\omega)| = |X(-j\omega)|$）。
2. 相位谱 $\angle X(j\omega)$： 奇对称（$\phi(\omega) = -\phi(-\omega)$）。

3. 特殊情形

• 实偶信号： 若 $x(t)$ 是实且偶的，则 $X(j\omega)$ 也是实且偶的。
• 实奇信号： 若 $x(t)$ 是实且奇的，则 $X(j\omega)$ 是纯虚且奇的。
• 分量对应关系：
  • 时域的偶分量 $x_e(t) \longleftrightarrow$ 频域的实部 $\text{Re}\{X(j\omega)\}$
  • 时域的奇分量 $x_o(t) \longleftrightarrow$ 频域的虚部 $j\text{Im}\{X(j\omega)\}$

4. 应用举例：利用共轭对称特性计算双边指数信号的傅里叶变换

下图展示了如何利用傅里叶变换的共轭对称特性来简化双边指数信号的计算过程。

目标： 计算双边指数信号 $x(t) = e^{-\alpha|t|}$（其中 $\alpha > 0$）的傅里叶变换。

计算步骤：

第一步：定义单边信号及其变换

先考虑单边指数信号 $x_1(t) = e^{-\alpha t} u(t)$，其傅里叶变换为：

$X_1(j\omega) = \frac{1}{\alpha + j\omega}$

第二步：复数展开

对 $X_1(j\omega)$ 分母有理化，分离实部和虚部：

$X_1(j\omega) = \frac{1}{\alpha + j\omega} \cdot \frac{\alpha - j\omega}{\alpha - j\omega} = \frac{\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} - j\frac{\omega}{\alpha^2 + \omega^2}$

即：

• 实部 $\text{Re}\{X_1(j\omega)\} = \displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}$
• 虚部 $\text{Im}\{X_1(j\omega)\} = \displaystyle \frac{-\omega}{\alpha^2 + \omega^2}$

第三步：利用偶部特性

由于 $x(t) = e^{-\alpha|t|}$ 是偶函数，它可以表示为 $x(t) = 2x_{1e}(t)$，其中 $x_{1e}(t)$ 是 $x_1(t)$ 的偶分量：

$x_{1e}(t) = \frac{1}{2}[x_1(t) + x_1(-t)]$

第四步：应用共轭对称性质

根据傅里叶变换的对称性质：时域的偶分量对应频域的实部，即 $\mathcal{F}\{x_e(t)\} = \text{Re}\{X(j\omega)\}$。

因此：

$\mathcal{F}\{x(t)\} = 2\,\text{Re}\{X_1(j\omega)\} = 2 \cdot \frac{\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} = \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}$

总结： 这种方法避免了直接计算双边信号的积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha|t|} e^{-j\omega t} dt$，而是通过已知单边信号的变换结果，结合”时域偶部对应频域实部”这一性质直接得出答案。

5. 微分与积分性质

时域微分性质

若 $x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$，则：

$\frac{dx(t)}{dt} \longleftrightarrow j\omega X(j\omega)$

重点理解：时域内的微分运算在频域中对应于直接乘以 $j\omega$。这极大地简化了线性微分方程的求解，将其转化为代数运算。

时域积分性质

$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \longleftrightarrow \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi X(0) \delta(\omega)$

注意：积分性质包含两部分：第一部分是频率响应的缩放（对应微分的逆运算），第二部分 $\pi X(0) \delta(\omega)$ 对应于信号的直流分量（$t \to \infty$ 时的累积值）。

6. 时间与频率的尺度变换性质

若 $x(t) \longleftrightarrow X(j\omega)$，对于常数 $a \neq 0$：

$x(at) \longleftrightarrow \frac{1}{|a|} X\left( \frac{j\omega}{a} \right)$

直观理解：

• 时域压缩（$|a| > 1$）： 信号在时间上变快，对应的频域波形会展宽（扩展）。
• 时域扩展（$|a| < 1$）： 信号在时间上变慢，对应的频域波形会压缩。
• 幅度变化： 注意频域幅度前有 $\frac{1}{|a|}$ 的系数，这是为了保持变换前后的能量关系。

7. 对偶性质 (Duality Property)

核心结论：若 $f(t) \longleftrightarrow F(j\omega)$，则：

$F(jt) \longleftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

学习笔记：这个性质非常重要。当某些信号在时域直接求变换非常困难时，如果它的函数形式与某种已知的频谱函数相似，可以利用对偶性直接写出结果。

时同频反

典型例题：矩形脉冲与 Sinc 函数的对偶

1. 已知矩形脉冲的变换： 若 $x_1(t)$ 是脉冲宽度为 $2T_1$ 的矩形波：

   $x_1(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T_1 \\ 0, & |t| > T_1 \end{cases} \longleftrightarrow X_1(j\omega) = \frac{2\sin(\omega T_1)}{\omega}$

2. 利用对偶性求 Sinc 函数的变换： 设 $x_2(t) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t}$，求其频谱 $X_2(j\omega)$。 根据对偶性，时域的 Sinc 函数对应频域的矩形：

   $x_2(t) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t} \longleftrightarrow X_2(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| < W \\ 0, & |\omega| > W \end{cases}$

   (整理注：此处体现了”时域有限，频域无限；频域有限，时域无限”的特性)

典型例题 1：矩形脉冲与 Sinc 函数的对偶

1. 已知矩形脉冲： $x_1(t) = \text{rect}(t/2T_1) \longleftrightarrow X_1(j\omega) = \frac{2\sin(\omega T_1)}{\omega}$
2. 利用对偶性求 Sinc 变换： $x_2(t) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t} \longleftrightarrow X_2(j\omega) = \text{rect}(\omega/2W)$

典型例题 2：利用对偶性求 $g(t) = \frac{2}{1+t^2}$ (参考 image_b17a77.png)

已知条件： 指数信号 $x(t) = e^{-|t|}$ 的变换为 $X(j\omega) = \frac{2}{1+\omega^2}$。 推导过程：

1. 根据对偶性公式 $F(jt) \longleftrightarrow 2\pi f(-\omega)$；

2. 将 $X(j\omega)$ 中的 $\omega$ 替换为 $t$，得到 $X(jt) = \frac{2}{1+t^2}$；

3. 对应的频谱为 $2\pi x(-\omega) = 2\pi e^{-|-\omega|} = 2\pi e^{-|\omega|}$；

4. 最终结果：

   $\mathcal{F}\left\{ \frac{2}{1+t^2} \right\} = 2\pi e^{-|\omega|}$

8. 帕塞瓦尔定理 (Parseval’s Relation)

$\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega$

物理意义：信号在时域的总能量等于其在频域对所有频率分量能量密度的积分。这证明了傅里叶变换是一个能量守恒的过程。

​

典型应用：利用 FT 求解时域积分 (参考 image_b17a59.jpg)

题目： 计算 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 \pi t}{t^2} dt$。

解析思路：

1. 构造信号： 令 $f(t) = \frac{\sin^2 \pi t}{t^2} = \pi^2 \text{Sa}^2(\pi t)$。

2. 性质关联： 注意到 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = F(j0)$，即时域积分等于其频谱在零频率处的值。

3. 计算频谱：

   • 已知 $\pi \frac{\sin \pi t}{\pi t} \longleftrightarrow \pi \cdot \text{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$（幅度为 $\pi$，带宽从 $-\pi$ 到 $\pi$ 的方波）。
   • 根据相乘性质，$f(t)$ 为两个 Sinc 函数相乘，对应频域为两个方波的卷积（再乘 $1/2\pi$）。
   • 方波与自身卷积得到三角形频谱 $F(j\omega)$。

4. 求 $F(0)$：

   • 两个宽度为 $2\pi$、高度为 $\pi$ 的方波卷积，中心处的值为 $\int_{-\pi}^{\pi} \pi \cdot \pi d\theta = 2\pi^3$。
   • 乘以系数 $1/2\pi$，得到 $F(0) = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi^3 = \pi^2$。

5. 最终结果：

   $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 \pi t}{t^2} dt = \pi^2$

4.5 卷积性质 (Convolution Property)

若 $y(t) = h(t) * x(t)$，则：

$Y(j\omega) = H(j\omega) X(j\omega)$

核心结论：时域内的卷积对应频域内的乘积。

这是 LTI（线性时不变）系统分析的基石：系统的输出频谱等于输入频谱与系统频率响应的乘积。

4.6 相乘性质 (Multiplication Property)

若 $r(t) = s(t) \cdot p(t)$，则：

$R(j\omega) = \frac{1}{2\pi} [S(j\omega) * P(j\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S(j\theta) P(j(\omega - \theta)) d\theta$

核心结论：时域内的相乘对应频域内的卷积（带 $1/2\pi$ 系数）。

应用笔记：一个信号与另一个信号相乘，可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅。因此，该性质也是幅度调制 (Amplitude Modulation) 的理论基础。

若 $r(t) = s(t) \cdot p(t)$，则：

$R(j\omega) = \frac{1}{2\pi} [S(j\omega) * P(j\omega)]$

• 核心结论： 时域相乘 $\longleftrightarrow$ 频域卷积（注意 $1/2\pi$ 系数）。

典型例题：幅度调制 (AM) 基础

题目： 设信号 $s(t)$ 的频谱为 $S(j\omega)$，考虑信号 $r(t) = s(t) \cos(\omega_0 t)$，求其频谱 $R(j\omega)$。

解析过程：

1. 已知载波变换： $p(t) = \cos(\omega_0 t) \longleftrightarrow P(j\omega) = \pi \delta(\omega - \omega_0) + \pi \delta(\omega + \omega_0)$。

2. 应用相乘性质：

   $R(j\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S(j\theta) P(j(\omega - \theta)) d\theta$

3. 利用冲击函数的筛选性质：

   $R(j\omega) = \frac{1}{2} S(j(\omega - \omega_0)) + \frac{1}{2} S(j(\omega + \omega_0))$

• 物理意义：
  • 一个信号与余弦波相乘，相当于将其频谱搬移至载波频率 $\pm \omega_0$ 处。
  • 信息保持： 虽然频率升高了，但 $s(t)$ 中的全部信息被原封不动地保留了下来。这构成了幅度调制系统的基础。

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4.1

【【信号与系统课后题逐题精讲】奥本海姆第二版《信号与系统》课后题逐题详细解析【第一章~第五章】】 https://www.bilibili.com/video/BV1nj42197yF/?p=107&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

4.2

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4.4

【【信号与系统课后题逐题精讲】奥本海姆第二版《信号与系统》课后题逐题详细解析【第一章~第五章】】 https://www.bilibili.com/video/BV1nj42197yF/?p=110&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

门函数的常见处理，要看这道题