【傅里叶级数】 https://www.bilibili.com/video/BV1PE411X7b8/?p=4&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

【傅里叶级数的应用】 https://www.bilibili.com/video/BV1PE411X7b8/?p=5&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

本章重点

傅里叶级数怎么求

• 方法1：转化为 exponential form, $a_k$ 是 复振幅，只要看前面部分的内容就够了
  • 注意，注意要找到基频，也就是$w$ ,不然求出来的会不对。
• 方法2：使用傅里叶级数分析的方法，通过正交化的形式求出 备注：$a_0$作为直流分量需要单独求出

重要结论

• 实数信号具有共轭对称性

信号与系统：傅里叶级数与分析（Fourier Series & Analysis）

本篇笔记系统化地梳理了傅里叶级数的核心概念、数学推导以及实际物理意义。通过对周期信号的分拆与合成，理解频域分析在现代信息压缩（如 JPEG、MP3）中的基石作用。

一、 傅里叶级数基础：从周期性函数开始

傅里叶级数（Fourier Series）的核心思想是：任何一个周期性的连续信号，都可以表示为一系列不同频率的复指数信号（或正弦/余弦信号）的线性叠加。

因为复指数信号可以看作是信号处理中的基本信号

1. 基本参数与周期关系

• 周期 ($T_0$)：信号重复自身所需的最小时间。

• 基频 ($f_0$)：基频率，定义为：

  $f_0 = \frac{1}{T_0} \quad (\text{Hz})$

• 基值角频率 ($\omega_0$)：

  $\omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T_0} \quad (\text{rad/s})$

2. 倍频与谐波的关系

在傅里叶级数中，叠加的信号频率都是基频的整数倍（即倍频，也称为谐波 Harmonics）：

• 当基频 $f_0 = 50\text{ Hz}$ 时：
  • $100\text{ Hz}$（2倍频）处的傅里叶系数记为 $a_2$（第二谐波）。
  • $250\text{ Hz}$（5倍频）处的傅里叶系数记为 $a_5$（第五谐波）。
  • 基频本身对应的系数记为 $a_1$（第一谐波）。
  • 直流分量（0倍频）记为 $a_0$。

$a_k$ 实质上就是 $k$ 倍频对应的傅里叶系数（第 $k$ 次谐波分量）。

二、 傅里叶合成与分析的本质

傅里叶变换的世界存在两个对称的互逆过程：合成（Synthesis） 与 分析（Analysis）。

也可以理解为是两个不同基向量空间的线性变换

1. 傅里叶合成（Fourier Synthesis）

这是一个“从部分到整体”、利用各个频率的分量构建出原始信号的过程。

• 公式（复指数形式）：

  $x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j 2 \pi k f_0 t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}$

• 物理解释：我们将无穷多个旋转的复指数信号 $e^{j k \omega_0 t}$ 分别乘以它们的权重系数 $a_k$ 后相加，就能完美还原出原本复杂的周期信号 $x(t)$。例如早期的电子合成乐器或机器人的声音，就是通过控制不同的 $a_k$ 参数进行声音合成的。

2. 傅里叶分析（Fourier Analysis）

这是一个“从整体到部分”、从原始信号中提取出其包含哪些频率成分的过程。

• 核心思想：从信号中转回求得傅里叶系数 $a_k$。

• 数学公式（分析公式）：

  $a_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt$

  这里的证明本质上是通过正交性实现的

• 限制条件：傅里叶级数分析只能应用在周期信号（Periodic Signals）上。对于非周期信号，我们需要使用傅里叶变换（Fourier Transform）。

三、 深入理解 $a_k$ 与 $e^{j k \omega_0 t}$ 的实际物理意义

在学习过程中，我们常常疑惑：$a_k$ 和 $e^{j 2\pi k f_0 t}$ 到底代表了什么？是幅值、频率、相位，还是其他？

通过将两者结合，其物理本质非常直观：

1. $e^{j k \omega_0 t}$：旋转的“复基底”（单位圆上的旋转向量）

根据欧拉公式，$e^{j \theta} = \cos\theta + j\sin\theta$。因此：

$e^{j k \omega_0 t} = \cos(k \omega_0 t) + j\sin(k \omega_0 t)$

一个常见的错误理解，就是 认为 $a_k$ 只是一个简单的幅值

• 这在复平面上代表一个模长为 1 的旋转向量（Phasor）。
• 它的旋转速度（频率）是 $k \omega_0$（即基频的 $k$ 倍），正负号代表旋转方向（$k>0$ 逆时针旋转，$k<0$ 顺时针旋转）。
• 它纯粹提供了一个特定频率的“旋转骨架”。

2. $a_k$：复振幅（Complex Amplitude）

傅里叶系数 $a_k$ 通常是一个复数，它可以写为极坐标形式：

$a_k = |a_k| e^{j \phi_k}$

• 模长 $|a_k|$：代表该频率分量的幅值（准确地说是物理单边振幅的一半）。
• 幅角 $\phi_k$：代表该频率分量的相位（即在 $t=0$ 时刻旋转向量的初始偏角）。

3. 两者相乘 $a_k e^{j k \omega_0 t}$：携带振幅与相位的旋转向量

将两项相乘，根据指数运算法则：

$a_k e^{j k \omega_0 t} = |a_k| e^{j \phi_k} e^{j k \omega_0 t} = |a_k| e^{j (k \omega_0 t + \phi_k)}$

这代表一个模长为 $|a_k|$、初始相位为 $\phi_k$、以频率 $k\omega_0$ 旋转的向量。

4. 实数信号的共轭对称性

对于我们现实生活中遇到的真实物理信号 $x(t)$（即 $x(t)$ 是实数），其正频率分量与负频率分量必然是互为共轭的：

$a_{-k} = a_k^*$

我们将同一对正负频率的项合并：

$a_k e^{j k \omega_0 t} + a_{-k} e^{-j k \omega_0 t} = a_k e^{j k \omega_0 t} + a_k^* e^{-j k \omega_0 t} = 2 \text{Re} \left\{ a_k e^{j k \omega_0 t} \right\}$

代入 $a_k = |a_k| e^{j \phi_k}$：

$2 \text{Re} \left\{ |a_k| e^{j (k \omega_0 t + \phi_k)} \right\} = 2|a_k| \cos(k \omega_0 t + \phi_k)$

由此可见：

• 实际物理振幅：为 $2|a_k|$。
• 实际物理相位：为 $\phi_k$。
• 实际物理频率：为 $k f_0$。

四、 经典例题一：三角函数展开法（利用欧拉公式求级数）

并不是所有信号都需要用复杂的积分去算 $a_k$。如果信号本身就是简谐运动的组合，利用欧拉公式（Euler’s Formula）直接展开是最简便、最不容易出错的方法。

【题目】

已知周期信号 $x(t) = \sin^3(3\pi t)$，求其傅里叶级数展开式及系数 $a_k$。

【完善推导过程】

第一步：使用欧拉公式展开正弦项 我们知道：

$\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$

将 $\theta = 3\pi t$ 代入：

$x(t) = \left( \frac{e^{j 3\pi t} - e^{-j 3\pi t}}{2j} \right)^3$

第二步：利用立方公式展开 立方展开公式为 $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$，分母为 $(2j)^3 = -8j$。

$x(t) = \frac{1}{-8j} \left[ \left(e^{j3\pi t}\right)^3 - 3\left(e^{j3\pi t}\right)^2\left(e^{-j3\pi t}\right) + 3\left(e^{j3\pi t}\right)\left(e^{-j3\pi t}\right)^2 - \left(e^{-j3\pi t}\right)^3 \right]$

$x(t) = \frac{1}{-8j} \left( e^{j9\pi t} - 3e^{j3\pi t} + 3e^{-j3\pi t} - e^{-j9\pi t} \right)$

将分母的 $\frac{1}{-8j}$ 转换为 $\frac{j}{8}$ 乘入各项：

$x(t) = \frac{j}{8} e^{j9\pi t} - \frac{3j}{8} e^{j3\pi t} + \frac{3j}{8} e^{-j3\pi t} - \frac{j}{8} e^{-j9\pi t}$

第三步：确定基频与各系数 分析式中出现的角频率：有 $3\pi$ 和 $9\pi$。它们的最大公约数（基角频率）为：

$\omega_0 = 3\pi \quad (\text{rad/s})$

此时对应的基频 $f_0 = \frac{3\pi}{2\pi} = 1.5\text{ Hz}$。

根据傅里叶合成公式 $x(t) = \sum a_k e^{j k \omega_0 t}$ 对比系数：

• 对于 $k = 1$（频率 $\omega = 3\pi$）：

  $a_1 = -\frac{3j}{8} = \frac{3}{8} e^{-j\pi/2}$

• 对于 $k = -1$（频率 $\omega = -3\pi$）：

  $a_{-1} = \frac{3j}{8} = \frac{3}{8} e^{j\pi/2}$

• 对于 $k = 3$（频率 $\omega = 9\pi$）：

  $a_3 = \frac{j}{8} = \frac{1}{8} e^{j\pi/2}$

• 对于 $k = -3$（频率 $\omega = -9\pi$）：

  $a_{-3} = -\frac{j}{8} = \frac{1}{8} e^{-j\pi/2}$

• 对于其他所有 $k$ 值：

  $a_k = 0$

【验证共轭对称性】

因为 $x(t)$ 是实数信号，验证发现：

$a_{-1} = a_1^* = \left(-\frac{3j}{8}\right)^* = \frac{3j}{8} \quad (\text{成立})$

$a_{-3} = a_3^* = \left(\frac{j}{8}\right)^* = -\frac{j}{8} \quad (\text{成立})$

五、 积分性质与正交性：傅里叶分析的数学基石

为什么利用积分公式 $a_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt$ 就可以神奇地“过滤”出某一个特定频率分量的系数呢？这源于复指数信号的正交性（Orthogonality）。

1. 积分性质（单复指数信号在一个周期内的积分）

对于任意整数 $m$：

$\int_{0}^{T_0} e^{-j \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) m t} dt = \begin{cases} T_0, & m = 0 \\ 0, & m \neq 0 \end{cases}$

• 物理直观理解：
  • 当 $m=0$ 时，被积函数是 $e^0 = 1$，积出来当然是周期长度 $T_0$。
  • 当 $m \neq 0$ 时，复指数信号在复平面上旋转了整整 $m$ 圈。由于圆周是对称的，旋转一整圈的过程里正负部分完美抵消，因此其在一个周期内的积分平均值必然为 $0$（这也是除了直流分量 DC 外，其余所有纯正弦/余弦交流信号一个周期积分为 0 的原因）。

2. 复指数信号的正交性（Orthogonality of $e^{j\omega t}$）

我们将两个不同谐波频率的复指数信号相乘，并在一个周期内积分：

$\frac{1}{T_0} \int_{T_0} e^{j n \omega_0 t} \cdot e^{-j k \omega_0 t} dt = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} e^{j (n-k) \omega_0 t} dt$

根据上述积分性质，令 $m = k - n$：

• 如果 $n \neq k$（不同频率）：积分结果为 $0$。
• 如果 $n = k$（相同频率）：积分结果为 $1$。

这代表不同的谐波在数学上是正交的基底。

3. “声音滤波器”的直观比喻

“如果我想要检验一段声音信号中是否存在 $11\text{ Hz}$ 的频率，我只需要将信号乘以 $e^{-j 2\pi (11) t}$ 并进行周期积分即可。”

【实例说明】 假设我们的声音信号 $x(t)$ 是一个包含了 $11\text{ Hz}$ 和 $22\text{ Hz}$ 声音的混合信号：

$x(t) = 3e^{j 22\pi t} + 4e^{j 44\pi t}$

(注：由于 $\omega = 2\pi f$，所以 $22\pi \Rightarrow 11\text{ Hz}$， $44\pi \Rightarrow 22\text{ Hz}$，这里基频 $f_0 = 11\text{ Hz}$，$T_0 = 1/11\text{ s}$)

现在我们通过乘以 $e^{-j 22\pi t}$（即 $11\text{ Hz}$ 的探测波）并积分：

$a_1 = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} \left( 3e^{j 22\pi t} + 4e^{j 44\pi t} \right) e^{-j 22\pi t} dt$

$a_1 = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} 3 \underbrace{e^{j0}}_{1} dt + \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} 4 e^{j 22\pi t} dt$

• 第二项由于频率不匹配（$22\text{ Hz}$ 探测 $11\text{ Hz}$ 差频仍然是交流），在一个周期内积分化为 $0$。

• 第一项因为同频对消变成了直流（DC），积分被保留了下来：

  $a_1 = \frac{1}{T_0} \cdot 3 T_0 + 0 = 3$

利用这个特性，我们能精确分析出复杂信号中的每一种成分。对于非直流项（$k \neq 0$）与直流项（$k=0$），我们在实际运算中常常分拆开来计算：

• 非直流项（交流分量）：

  $a_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt \quad (k \neq 0)$

• 直流分量（DC Component，平均值）：

  $a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) dt \quad (k=0)$

六、 经典例题二：周期方波的傅里叶分析

这是一道在信号与系统中极其重要、必须要熟练掌握的经典例题。通过该题可以深入理解方波的“无限带宽”特性及“信息压缩”原理。

【题目】

设有一个周期方波信号 $x(t)$，在一周期内的表达式为：

$x(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t < \frac{1}{2} T_0 \\ 0, & \frac{1}{2} T_0 \le t < T_0 \end{cases}$

已知周期 $T_0 = 0.04\text{ s}$。求该方波的傅里叶级数系数 $a_k$ 并分析其频谱。

 x(t)
  ^
1 |+--------+        +--------+
  |        |        |        |
  |        |        |        |
  +--------+--------+--------+-------> t
  0      T0/2       T0     3T0/2

【完善推导过程】

已知周期 $T_0 = 0.04\text{ s}$，其基频率为：

$f_0 = \frac{1}{0.04} = 25\text{ Hz}$

基角频率为：

$\omega_0 = 2\pi f_0 = 50\pi \quad (\text{rad/s})$

1. 首先求解直流分量 $a_0$（$k=0$）

$a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) dt = \frac{1}{0.04} \int_{0}^{0.02} 1 \cdot dt = \frac{0.02}{0.04} = \frac{1}{2}$

我确实一直不知道 DC 怎么求，我都是求的平均值

(直流分量为 $0.5$，代表这个方波在垂直方向上的平均高度)

2. 求解谐波分量 $a_k$（$k \neq 0$）

由于 $x(t)$ 仅在 $0 \le t < 0.02$ 期间为 $1$，其余区间为 $0$，积分限缩短：

$a_k = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0/2} 1 \cdot e^{-j k \omega_0 t} dt$

$a_k = \frac{1}{T_0} \left[ \frac{e^{-j k \omega_0 t}}{-j k \omega_0} \right]_{0}^{T_0/2} = \frac{1}{-j k \omega_0 T_0} \left( e^{-j k \omega_0 \frac{T_0}{2}} - 1 \right)$

因为 $\omega_0 T_0 = 2\pi$，代入分母与指数项：

$a_k = \frac{1}{-j 2\pi k} \left( e^{-j k \pi} - 1 \right) = \frac{j}{2\pi k} \left( e^{-j k \pi} - 1 \right)$

我们知道复指数性质：$e^{-j k \pi} = \left(e^{-j\pi}\right)^k = (-1)^k$。 代入后得到：

$a_k = \frac{j}{2\pi k} \left[ (-1)^k - 1 \right] = \frac{1 - (-1)^k}{j 2\pi k}$

3. 讨论 $k$ 的取值对系数的影响

• 当 $k$ 为偶数时（$k = \pm 2, \pm 4, \dots$）：

  $(-1)^k = 1 \Rightarrow a_k = \frac{1 - 1}{j 2\pi k} = 0$

  (偶数倍频处的谐波分量全部为 0)

• 当 $k$ 为奇数时（$k = \pm 1, \pm 3, \dots$）：

  $(-1)^k = -1 \Rightarrow a_k = \frac{1 - (-1)}{j 2\pi k} = \frac{2}{j 2\pi k} = \frac{1}{j \pi k} = -\frac{j}{\pi k}$

4. 总结推导结果

$a_k = \begin{cases} \frac{1}{2}, & k = 0 \\ \frac{1}{j\pi k}, & k \in \text{奇数} \\ 0, & k \in \text{偶数} \end{cases}$

七、 信号压缩与实际应用（从频域角度看信息压缩）

方波的傅里叶分析为我们展示了非常重要的工程启示：

1. 无限频宽特性 (Not Bandlimited)

从公式 $a_k = \frac{1}{j \pi k}$ 可以看出，无论 $k$ 有多大，只要 $k$ 是奇数，该项系数就永远不为零。

• 这说明：完美的突变信号（如方波的边缘）其频宽是无限的（Not a bandlimited signal）。
• 在传输或存储这种信号时，如果我们想要完美无瑕地还原它，必须记录无限多的数据点。这在工程上是无法做到的。

2. 什么是信息压缩（以方波近似为例）

幸好，随着频率 $k$ 增大，谐波的幅值 $|a_k| = \frac{1}{\pi |k|}$ 是在快速衰减的。高频分量只影响方波“陡峭边缘”的细节，低频分量决定了其“主体结构”。

• 全谱记录：原本如果要完整记录这个方波信号的所有时间点，需要极高的采样率。
• 部分（1~3阶）谐波压缩合成： 如果我们决定只记录 $1 \sim 3$ 阶谐波：
  • 我们只需要记录：$k = -3, -1, 0, 1, 3$ 这 5 根谱线（直流、基频、3倍频）。
  • 每一根谱线只需记录其频率、振幅与相位（共 15 个参数）。
  • 通过电算软件将这 5 根谱线合成回来（由 2 个余弦波与一个直流合成），得到的波形（蓝线）已经和原本的方波（红线）非常接近。
• 这是一种高效的信息压缩！ 我们不需要存储上千个时间点的数据，只需要存这 5 根谱线的复数值，就能以极高精度重构信号。这正是 JPEG 图像压缩、MP3 音乐压缩 以及 MPEG 视频压缩 的核心运作原理！

八、 吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）

在利用有限项谐波近似合成不连续信号（如方波的跳变沿）时，我们会观察到一个有趣的物理现象：

 合成波形 (有限项)
   ^
   |      /\                  /\
 1 | ----/  \----------------/  \----
   |    /    \              /    \
   |   /      \            /      \
 0 +--/--------\----------/--------\-----> t
     不连续点 (跳变)

1. 现象描述

不论我们用多少项谐波去合成方波，在不连续点（跳变沿）附近，合成出的波形总会产生一个无法消除的波纹尖峰（Overshoot，超调）。

• 即使我们把谐波项数 $N$ 增加到一万项甚至无穷，这个局部起伏的峰值依然存在。
• 这个峰值的幅度大约占跳变高度的 $9\%$。

2. 物理成因

跳变点处在时域上的变化速度是无限大的，对应需要无限高的频率成分。由于我们在压缩还原时丢弃了更高阶的频率，这种高频细节的缺失在时域就表现为跳变沿两侧的波纹振荡。

在图像处理中，如果过度压缩图片（丢弃过多高频），在物体黑白交界的边缘处常常能看到一圈圈细微的波纹。这种由于丢失高频而在不连续界面产生的波纹，在学术上就被称为吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）。