过去问-线性代数-东京大学-2023

Problem 1

Answer the following questions.

(1) The function $f(x, y)$ with real variables $x, y$ is defined as follows:

$f(x, y) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x & y \end{vmatrix}.$

Show that the set of solutions of the equation $f(x, y) = 0$ is a line passing through two points $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ on the $xy$ plane, where $x_1 \neq x_2$.

(2) Find the value of the determinant $\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix}$ in factored form.

(3) Show that there is a unique curve $y = a_0 + a_1x + a_2x^2$ passing through three points $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ on the $xy$ plane, where $a_0, a_1, a_2$ are constants and $x_1, x_2, x_3$ are all distinct.

(4) The curve in (3) can be represented in the form $y = c_1y_1 + c_2y_2 + c_3y_3$, where each of $c_1, c_2, c_3$ does not depend on $y_1, y_2, y_3$. Find $c_1, c_2, c_3$.

(5) Let us represent a curve $y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$ passing through five points $(x_1, y_1), \dots, (x_5, y_5)$ on the $xy$ plane in the form $y = c_1y_1 + \dots + c_5y_5$, where each of $c_1, \dots, c_5$ does not depend on $y_1, \dots, y_5$, and $x_1, \dots, x_5$ are all distinct. Find $c_1$.

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2. 范德蒙德行列式，但是我忘记行列式的计算公式了。

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为了解决您提供的题目，您需要学习《新版 演习 线性代数》（寺田文行 著）中的以下章节：

Problem 1 各小题对应的学习章节

• (1) 关于行列式定义直线方程：

  • 所需章节： 第2.1节 “行列式の考え” (行列式的概念) 。
  • 知识点： 该题考察3阶行列式的展开（萨拉斯法则 ）及其在解析几何中的应用。通过展开 $f(x, y) = 0$，可以得到直线的一般方程 $Ax + By + C = 0$。

• (2) 范德蒙德行列式 (Vandermonde Determinant)：

  • 所需章节： 第2.4节 “n次行列の行列式” (n阶行列式) 中的“例题49”及相关发展问题 。
  • 知识点： 题目中的行列式是典型的3阶范德蒙德行列式。书中在第54页通过“差积の行列式表示”详细讲解了此类行列式的因式分解形式 。

• (3) & (4) 二次曲线的唯一性与拉格朗日插值思想：

  • 所需章节： 第2.4节 “n次行列の行列式” 及第3.2节 “行列の階数” (矩阵的秩) 。

  • 知识点：

    *

    唯一性证明：

    需要利用行列式判断线性方程组解的唯一性（克莱姆法则 ）。当 $x_i$ 互不相同时，其系数矩阵（范德蒙德型）的行列式不为零，从而保证 $a_0, a_1, a_2$ 有唯一解 。

    • 表示形式： 这涉及到多项式插值的基函数表示，即拉格朗日插值多项式。

• (5) 高次曲线插值的推广：

  • 所需章节： 第2.4节 “n次行列の行列式” 。
  • 知识点： 这是将第(3)(4)问推导至 $n=5$ 的情况。核心依然是利用范德蒙德行列式的性质来确定拉格朗日插值基函数 $c_1$。在书中关于“多項式の行列式表示”的部分（如例题48 ）有相关的理论背景。

总结建议

为了完整解答这道大题，您应重点研读：

1. 第二章 行列式：特别是关于行列式的性质、展开以及范德蒙德行列式的结论 。
2. 克莱姆法则 (Cramer’s Rule)：理解如何利用行列式判定线性方程组解的状态 。
3. 矩阵的秩 (Rank)：辅助理解解的唯一性条件 。

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