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模拟电子技术基础：集成积分器与微分器深度整理笔记

2.5 积分器与微分器 (Integrator & Differentiator)

在模拟电子技术和信号处理中，由集成运算放大器构成的积分运算电路和微分运算电路是两种极为经典的运算电路。它们不仅在数学上互为逆运算，在电路结构上也具有深刻的对称性（电阻与电容互换位置）。早期它们被广泛应用于模拟计算机中进行微积分方程求解，而现代则常用于波形变换、相位控制、信号调制及精密仪器测量等领域。

一、 积分运算电路 (Integrator Circuits)

1.1 反相积分器基本结构与时域分析

反相积分器是由反相比例放大器扩展而来的，其反馈回路中的电阻被电容 $C$ 替代，输入端依然为电阻 $R$。

1. 虚短与虚断分析

理想运放工作在深度负反馈状态下，满足：

• 虚短：运放同相输入端接地，则反相输入端电位为“虚地”，即：

  $u_- \approx u_+ = 0\text{ V}$

• 虚断：流进运放反相输入端的电流为 $0$，因此输入电流 $i$ 完全流经反馈电容 $C$。

2. 时域公式推导

流过电阻 $R$ 的输入电流为：

$i(t) = \frac{u_i(t) - u_-}{R} = \frac{u_i(t)}{R}$

反馈电容 $C$ 上的电流与电荷量 $Q(t)$ 的关系为：

$i(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = C \frac{du_C(t)}{dt}$

由于电容左端接虚地（$0\text{ V}$），右端接输出端 $u_o$，因此电容两端电压 $u_C(t)$ 为：

$u_C(t) = u_- - u_o(t) = -u_o(t)$

两边对时间求导，可得电容上的充电电流：

$i(t) = -C \frac{du_o(t)}{dt}$

将输入电流与反馈电流相统一：

$\frac{u_i(t)}{R} = -C \frac{du_o(t)}{dt} \implies \frac{du_o(t)}{dt} = -\frac{1}{RC}u_i(t)$

假设 $t = 0$ 时刻电容上的初始电荷量为 $0$（即初始输出电压 $u_o(0) = 0\text{ V}$），对上式两边进行积分，得到时域输出电压公式：

$u_o(t) = - \frac{1}{RC} \int_{0}^{t} u_i(t') \, dt'$

• 物理常数：$\tau = RC$ 为电路的时间常数。积分系数 $\frac{1}{RC}$ 的单位是 $\text{s}^{-1}$。

1.2 频域与复频域分析 (Frequency & s-Domain Analysis)

为了更全面地分析电路的频率特性，我们将时域分析扩展至频域（$j\omega$ 域）与复频域（$s$ 域）。

1. 频域分析

电容的容抗为 $Z_C(j\omega) = \frac{1}{j\omega C}$，输入电阻阻抗为 $Z_R(j\omega) = R$。 利用反相放大器的广义传输比公式 $A_{uf}(j\omega) = -\frac{Z_f}{Z_1}$，可得：

$u_o(j\omega) = -\frac{Z_C(j\omega)}{Z_R(j\omega)} u_i(j\omega) = -\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R} u_i(j\omega)$

即频域电压传输关系：

$u_o(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC} u_i(j\omega)$

电压放大倍数（频域传输函数）：

$A_{uf}(j\omega) = \frac{u_o(j\omega)}{u_i(j\omega)} = -\frac{1}{j\omega RC}$

• 这里的 $\frac{1}{j\omega}$ 即为数学上的积分算子。

2. 复频域（$s$ 域）分析

在系统分析中，通常将 $j\omega$ 用复频率 $s$ 替换，从而将频域特性扩展至复频域：

$u_o(s) = -\frac{1}{sRC} u_i(s)$

$A_{uf}(s) = \frac{u_o(s)}{u_i(s)} = -\frac{1}{sRC}$

• 复频域下的积分算子体现为 $\frac{1}{s}$。

1.3 分贝 (dB) 的概念与频率特性

在工程实际中，放大倍数的幅值和频率跨度非常宽，采用线性坐标轴表示极不直观，因此引入对数坐标轴（波特图），并使用分贝 (decibel, dB) 作为单位。

1. 为什么电压增益公式是 $20 \log_{10} |A_{u}|$？

分贝的本源单位是贝尔 (Bel)，定义为输出功率与输入功率比值的对数：

$\text{增益 (Bel)} = \log_{10} \frac{P_o}{P_i}$

由于“贝尔”单位过大，在实际中通常细分为其十分之一，即“分贝 (dB)”：

$\text{增益 (dB)} = 10 \log_{10} \frac{P_o}{P_i}$

根据电路理论，功率与电压的平方成正比（$P = \frac{U^2}{R}$），假设输入和输出阻抗相等，则有：

$\text{增益 (dB)} = 10 \log_{10} \left( \frac{U_o}{U_i} \right)^2 = 20 \log_{10} \frac{U_o}{U_i} = 20 \log_{10} |A_{u}|$

这就是 $20$ 倍对数系数的来源。使用对数表示不仅能大大压缩极其宽广的数值范围，还能将多级级联电路的“乘除法运算”简化为直观的“加减法运算”。

2. 积分器的幅频特性 (Amplitude-Frequency Character)

对积分器的频域传输函数取模值：

$|A_{uf}(j\omega)| = \frac{1}{\omega RC}$

转换为分贝值表达：

$A_{uf}(\text{dB}) = 20 \log_{10} |A_{uf}(j\omega)| = -20 \log_{10} (\omega RC)$

分析此特性曲线（幅频波特图）：

• 单位增益频率（截止频率）：当 $\omega = \omega_0 = \frac{1}{RC}$ 时，$|A_{uf}| = 1$，对应增益为 $0\text{ dB}$。该点称为积分器的积分过渡角频率。

• 衰减斜率：由于 $\omega$ 在对数轴上，当频率每升高 10 倍（十倍频程，decade），增益将减小 $20\text{ dB}$。因此，积分器的幅频特性斜率为：

  $\text{斜率} = -20\text{ dB/dec}$

  这表明积分电路具有极好的低通滤波特性，高频信号会被剧烈衰减。

3. 相位响应 (Phase Response)

积分器对输入信号会引入相位改变：

$A_{uf}(j\omega) = -\frac{1}{j\omega RC} = \frac{j}{\omega RC} = \frac{1}{\omega RC} e^{j 90^\circ}$

• 附加相移分析：单纯的积分算子 $\frac{1}{j\omega}$ 产生 $-90^\circ$ 的相移，而反相输入端引入 $180^\circ$ 的反相相移，因此整体的相移为 $-90^\circ + 180^\circ = +90^\circ$（或表示为延迟 $-270^\circ$）。
• 这是一个滞后积分器，在时域上，输出的正弦波在相位上比输入信号滞后 $270^\circ$（等效于超前 $90^\circ$）。

1.4 积分电路典型应用

1. 数学积分运算：在早期的模拟计算机中，用于求解微分方程。
2. 波形变换：
   • 方波输入 $\rightarrow$ 三角波输出：由于方波在半周期内是常数，对其积分会得到一条斜率恒定的直线，从而将方波转变为高质量的三角波。
3. 正弦波移相：对正弦波进行积分会得到余弦波，实现精确的 $90^\circ$ 正交移相。这在正交调制、解调等信号处理系统（如 IQ 信号处理）中应用广泛。

1.5 积分器电路的其它拓扑变体

1. 同相积分器 (Non-inverting Integrator)

反相积分器的输出与输入反相，若需要同相积分，可采用如图所示的同相积分电路。

• 电路推导验证： 同相端分压：

  $u_+ (j\omega) = u_i(j\omega) \cdot \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} = u_i(j\omega) \cdot \frac{1}{1 + j\omega RC}$

  反相反馈回路同样由相同的电阻 $R$ 和电容 $C$ 组成。运放的反相放大倍数为：

  $A_n(j\omega) = 1 + \frac{Z_f}{Z_1} = 1 + \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R} = \frac{1 + j\omega RC}{j\omega RC}$

  由于虚短，反相端电压等于同相端电压：

  $u_o(j\omega) = u_+(j\omega) \cdot A_n(j\omega) = \left[ u_i(j\omega) \cdot \frac{1}{1 + j\omega RC} \right] \cdot \left[ \frac{1 + j\omega RC}{j\omega RC} \right]$

  消去共用项，得到完美的同相积分关系：

  $u_o(j\omega) = \frac{1}{j\omega RC} u_i(j\omega)$

  对应的时域表达式为：

  $u_o(t) = \frac{1}{RC} \int_{0}^{t} u_i(t') \, dt'$

2. 差动（差分）积分器 (Differential Integrator)

差动积分器结合了减法电路和积分电路的特征，其输出电压正比于两个输入电压差值的积分。

• 输入输出关系：

  $u_o(t) = \frac{1}{RC} \int_{0}^{t} [u_1(t') - u_2(t')] \, dt'$

  该电路常用于需要抑制共模干扰的差分测量系统中。

1.6 实际积分电路的缺陷与实用优化设计

在实际应用中，如果直接使用上述基础积分电路（即反馈回路仅有电容 $C$），会遇到严重的直流漂移与饱和问题：

• 饱和原因：实际集成运放存在输入偏置电流（$I_{IB}$）、输入失调电压（$U_{IO}$）和失调电流（$I_{IO}$）。这些微小的直流偏置信号会被积分器随着时间不断累积（充当直流输入），导致电容上的电压持续单方向上升，最终使运放迅速进入饱和状态（输出维持在正负电源轨上限），电路失去动态积分能力。
• 实用解决方案（引入直流负反馈）： 在反馈电容 $C$ 两端并联一个大电阻 $R_f$（通常 $R_f \ge 10R$）。
• 工作物理机理：
  • 对于直流信号（频率为 $0$），电容 $C$ 相当于开路，电路退化为一个反相比例放大器，直流放大倍数被限制为有限值 $-R_f / R$，从而阻止了电容的无限制充电，稳定了直流工作点。
  • 对于交流信号，只要工作频率远大于截止频率 $f_H = \frac{1}{2\pi R_f C}$，电容的阻抗远小于 $R_f$，电阻 $R_f$ 的旁路作用就可以忽略不计，电路依然保持优良的积分特性。

1.7 积分器综合计算例题

【例题 1】 已知一个反相实用积分器电路，输入电阻 $R = 10\text{ k}\Omega$，反馈电容 $C = 0.1\,\mu\text{F}$。为了防止直流饱和，在电容两端并联了保护电阻 $R_f = 100\text{ k}\Omega$。

1. 计算该电路能够维持优良积分特性的最低交流信号频率 $f_{min}$（通常取 $f_{min} \ge 3 f_H$）。
2. 若输入信号 $u_i(t)$ 为峰-峰值 $V_{pp} = 2\text{ V}$（双极性，即 $-1\text{ V}$ 至 $+1\text{ V}$）、频率 $f = 1\text{ kHz}$ 的方波，求输出电压 $u_o(t)$ 的波形形状及输出电压的峰-峰值 $\Delta U_o$。

【解析与步骤】

第 1 问： 首先计算由反馈网络决定的上限截止频率（即积分下限频率） $f_H$：

$f_H = \frac{1}{2\pi R_f C} = \frac{1}{2\pi \times (100 \times 10^3\ \Omega) \times (0.1 \times 10^{-6}\ \text{F})} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-2}} \approx 15.92\text{ Hz}$

为了保证电容阻抗远小于 $R_f$（保持积分误差在允许范围内），最低交流工作频率 $f_{min}$ 应为：

$f_{min} \ge 3 f_H \approx 47.8\text{ Hz}$

本题中的输入信号频率 $f = 1\text{ kHz}$ 远大于 $f_{min}$，因此可以忽略 $R_f$ 的旁路效应，视作理想积分。

第 2 问： 输入方波周期 $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{1000\text{ Hz}} = 1\text{ ms} = 1000\,\mu\text{s}$。 方波的半周期为：

$\frac{T}{2} = 0.5\text{ ms}$

在前半个周期（$t \in [0, 0.5\text{ ms}]$），输入电压 $u_i(t) = +1\text{ V}$。由于是反相积分器：

$u_o(t) = -\frac{1}{RC}\int_{0}^{t} (+1) \, dt' + u_o(0) = -\frac{1}{RC} \cdot t + u_o(0)$

输出电压在此期间将线性下降。由于输入为恒定直流，输出波形为斜率恒定的直线段（三角波的下降沿）。

在后半个周期（$t \in [0.5\text{ ms}, 1.0\text{ ms}]$），输入电压 $u_i(t) = -1\text{ V}$：

$u_o(t) = -\frac{1}{RC}\int_{0.5\text{ ms}}^{t} (-1) \, dt' + u_o(0.5\text{ ms}) = \frac{1}{RC} \cdot (t - 0.5\text{ ms}) + u_o(0.5\text{ ms})$

输出电压在此期间将以相同的斜率线性上升（三角波的上升沿）。

因此，输出电压 $u_o(t)$ 的波形为三角波。

计算输出电压的变化量（即输出波形的峰-峰值 $\Delta U_o$）：

$\Delta U_o = |u_o(0.5\text{ ms}) - u_o(0)| = \frac{1}{RC} \cdot U_{in} \cdot \frac{T}{2}$

代入数值：

$R \cdot C = (10 \times 10^3\ \Omega) \times (0.1 \times 10^{-6}\ \text{F}) = 1 \times 10^{-3}\text{ s} = 1\text{ ms}$

$\Delta U_o = \frac{1}{1 \times 10^{-3}\text{ s}} \times 1\text{ V} \times (0.5 \times 10^{-3}\text{ s}) = 0.5\text{ V}$

【答案】

1. 维持优良积分特性的最低交流信号频率约为 $47.8\text{ Hz}$。
2. 输出波形为三角波，其输出峰-峰值 $\Delta U_o = 0.5\text{ V}$。

二、 微分运算电路 (Differentiator Circuits)

2.1 反相微分器基本结构与时域分析

将反相积分器中的电阻 $R$ 与反馈电容 $C$ 的位置对调，即可构成反相微分器。

1. 虚短与虚断分析

• 虚短：同相端接地，则反相输入端电位为“虚地”，即 $u_- \approx u_+ = 0\text{ V}$。
• 虚断：输入电流完全经反馈电阻 $R$ 流向输出端。

2. 时域公式推导

电容 $C$ 位于输入端，两端电压为 $u_i(t) - u_- = u_i(t)$。流过电容的电荷充电电流为：

$i(t) = C \frac{du_i(t)}{dt}$

反馈电阻 $R$ 上的电流与输出电压的关系为：

$i(t) = \frac{u_- - u_o(t)}{R} = -\frac{u_o(t)}{R}$

由于没有电流流入运放反相端，两电流相等：

$C \frac{du_i(t)}{dt} = -\frac{u_o(t)}{R}$

由此得到时域输出电压公式：

$u_o(t) = -RC \frac{du_i(t)}{dt}$

• 微分输出电压正比于输入电压对时间的导数（变化率）。
• 比例常数 $\tau = RC$（时间常数）的单位为秒 ($\text{s}$)。

2.2 频域与复频域分析 (Frequency & s-Domain Analysis)

1. 频域分析

输入电容阻抗 $Z_C(j\omega) = \frac{1}{j\omega C}$，反馈电阻阻抗 $Z_R(j\omega) = R$。 根据反相运算电路阻抗比关系：

$u_o(j\omega) = -\frac{Z_R(j\omega)}{Z_C(j\omega)} u_i(j\omega) = -\frac{R}{\frac{1}{j\omega C}} u_i(j\omega)$

即频域电压传输关系：

$u_o(j\omega) = -j\omega RC \, u_i(j\omega)$

电压放大倍数（频域传输函数）：

$A_{uf}(j\omega) = \frac{u_o(j\omega)}{u_i(j\omega)} = -j\omega RC$

• 这里的 $j\omega$ 即为数学上的微分算子。

2. 复频域（$s$ 域）分析

引入复频率 $s$ 代替 $j\omega$：

$u_o(s) = -sRC \, u_i(s)$

$A_{uf}(s) = \frac{u_o(s)}{u_i(s)} = -sRC$

• 复频域下的微分算子体现为 $s$。

2.3 频率响应特征与相位响应

1. 幅频特性

取微分器频域传输函数的模值：

$|A_{uf}(j\omega)| = \omega RC$

转换为分贝值表达：

$A_{uf}(\text{dB}) = 20 \log_{10} |A_{uf}(j\omega)| = 20 \log_{10} (\omega RC)$

分析此幅频波特图：

• 单位增益频率：当 $\omega = \omega_0 = \frac{1}{RC}$ 时，$|A_{uf}| = 1$，对应增益为 $0\text{ dB}$。

• 增长斜率：由于 $\omega$ 与幅值成正比，频率每升高 10 倍（十倍频程），增益将增加 $20\text{ dB}$。因此，微分器的幅频特性斜率为：

  $\text{斜率} = +20\text{ dB/dec}$

• 高频危险性：这表明随着频率升高，电路的增益会无限增大。高频噪声和干扰信号会被成倍放大，这是微分器极不稳定的物理根源。

2. 相位响应 (Phase Response)

微分器对输入信号的附加相移为：

$A_{uf}(j\omega) = -j\omega RC = \omega RC e^{-j 90^\circ}$

• 附加相移分析：微分算子 $j\omega$ 带来 $+90^\circ$ 的相移，而反相输入端带来 $180^\circ$ 的相移，因此整体呈现 $-90^\circ$ 的相移。
• 这是一个超前微分器，其输出正弦波在相位上比输入信号超前 $90^\circ$（在复平面上，相当于乘以 $-j$）。

2.4 微分运算电路典型应用

1. 数学求导运算。

2. 波形变换：

   • 三角波输入 $\rightarrow$ 方波输出：由于三角波的斜率在上升沿和下降沿为正负常数，微分后输出为正负交替的方波。

3. 窄脉冲发生器（尖峰脉冲）：

   • 对方波信号进行微分。由于方波的上升沿和下降沿极为陡峭（理想情况下导数为无穷大），在边沿跳变时刻，微分器会输出幅度极高、宽度极窄的尖峰脉冲（在信号系统中对应狄拉克 $\delta$ 函数）。

4. 电容精密测量系统（传感器应用）：

   • 利用微分器的输出电压与输入电容 $C$ 成绝对线性正比的关系：

     $|U_o| = \omega R \cdot C \cdot |U_i|$

   • 精密标定（Calibration）过程： 若要设计一台电容测量仪，可在输入端接入频率已知、峰值恒定的高精度正弦波源（例如 $u_i$ 峰值为 $1\text{ V}$，角频率 $\omega$ 为定值），反馈电阻 $R$ 为精密标准电阻。

     1. 首先接入一个标准电容 $C_0 = 1\text{ nF}$。
     2. 调节反馈可调电阻 $R$（校准仪器），使输出电压的峰值正好显示为 $1\text{ V}$。此时，仪器标定完成，即 $1\text{ V}$ 直观代表 $1\text{ nF}$。
     3. 保持电路参数不变，换入待测未知电容 $C_x$。
     4. 由于电路的输出电压与电容值具有严格的线性度，若输出电压表指示为 $3\text{ V}$，则可以直接读出待测电容为 $3\text{ nF}$。

2.5 微分器的物理缺陷与高频稳定电路设计

在实际工程应用中，图 2.4 中的理想微分器几乎无法直接工作，主要面临两个严重的实用问题：

1. 对高频噪声极度敏感，容易饱和：由于微分器的增益随频率以 $+20\text{ dB/dec}$ 持续上升，电路极易受到环境高频白噪声的干扰。这会导致输出端充斥着剧烈的杂波，甚至使运放直接进入饱和状态。
2. 易产生自激振荡（不稳定性）：运放内部具有多级极点（引入相移），加上输入端电容 $C$ 与反馈电阻 $R$ 在高频下产生的附加相移，极易满足正反馈的振荡条件，导致电路自激。

实用稳定微分电路 (Practical Differentiator)

为了抑制高频噪声并保证闭环稳定性，必须在微分器中加入限制高频增益的元件：

• 解决方案：在输入电容 $C$ 上串联一个小电阻 $R_s$，并在反馈电阻 $R$ 上并联一个小电容 $C_f$。

稳定机理分析：

• 低频工作区：当信号频率较低时，$C$ 的容抗很大，$R_s$ 可以忽略不计；同时 $C_f$ 的容抗也很大，不影响 $R$ 的主导作用。电路保持标准微分特性，增益以 $+20\text{ dB/dec}$ 上升。

• 高频限制区：当频率极高时，电容 $C$ 和 $C_f$ 近似短路。此时，整个电路退化为一个反相比例放大器，其高频放大倍数被锁定为有限常数：

  $A_{uf}(f \rightarrow \infty) \approx -\frac{R_s}{R_f}$

  此时，增益不再随频率增加而增长（斜率变为 $0\text{ dB/dec}$ 或因后续极点而衰减），从而有效滤除了高频噪声，保障了电路的稳定工作。

• 间接实现方案（用积分器实现微分）： 在极其严苛的工业场合，往往采用积分反馈环路来间接实现高稳定性微分运算。例如，在放大器的反馈路径中接入一个高稳定性的积分器，利用反馈系统的逆运算特性实现微分功能，从而在根本上规避了直接微分带来的噪声放大问题。

2.6 微分器综合计算例题

【例题 2】 已知反相微分器电路中，反馈电阻 $R = 15\text{ k}\Omega$，输入电容 $C = 1\text{ nF}$。

1. 若输入信号为 $u_i(t) = 2 \sin(1.0 \times 10^5 t)\text{ V}$，求输出电压 $u_o(t)$ 的表达式，并指出输出与输入的相位差。
2. 若输入信号为频率 $f = 2\text{ kHz}$、峰-峰值 $V_{pp} = 4\text{ V}$（双极性，即 $-2\text{ V}$ 至 $+2\text{ V}$）的对称三角波，计算输出电压 $u_o(t)$ 的波形形状及输出电压的最大绝对值 $U_{omax}$。

【解析与步骤】

第 1 问： 已知 $u_i(t) = 2 \sin(\omega t)\text{ V}$，其中 $\omega = 1.0 \times 10^5\text{ rad/s}$。 微分器的时域输出公式为：

$u_o(t) = -RC \frac{du_i(t)}{dt}$

先求时间常数 $\tau = RC$：

$RC = (15 \times 10^3\ \Omega) \times (1 \times 10^{-9}\ \text{F}) = 1.5 \times 10^{-5}\text{ s}$

对输入电压求导：

$\frac{du_i(t)}{dt} = 2 \omega \cos(\omega t) = 2 \times 1.0 \times 10^5 \cos(1.0 \times 10^5 t) = 2.0 \times 10^5 \cos(1.0 \times 10^5 t)\text{ V/s}$

代入输出公式：

$u_o(t) = -(1.5 \times 10^{-5}) \times [2.0 \times 10^5 \cos(1.0 \times 10^5 t)] = -3 \cos(1.0 \times 10^5 t)\text{ V}$

使用三角函数恒等式改写为正弦形式，以便分析相位：

$-\cos(\theta) = \sin(\theta - 90^\circ)$

所以：

$u_o(t) = 3 \sin(1.0 \times 10^5 t - 90^\circ)\text{ V}$

因此，输出电压在相位上比输入电压滞后 $90^\circ$（即反相微分相位关系）。

第 2 问： 三角波信号参数：

• 周期 $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2000\text{ Hz}} = 0.5\text{ ms} = 500\,\mu\text{s}$。
• 半周期 $\frac{T}{2} = 250\,\mu\text{s}$。

分析输入三角波的变化率 $\frac{du_i(t)}{dt}$：

• 上升沿（半周期内从 $-2\text{ V}$ 线性升至 $+2\text{ V}$，历时 $250\,\mu\text{s}$）：

  $\frac{du_i(t)}{dt} = \frac{\Delta u_i}{\Delta t} = \frac{2\text{ V} - (-2\text{ V})}{250 \times 10^{-6}\text{ s}} = \frac{4\text{ V}}{2.5 \times 10^{-4}\text{ s}} = 16000\text{ V/s}$

  此期间对应的输出电压为：

  $u_o(t) = -RC \frac{du_i(t)}{dt} = -(1.5 \times 10^{-5}\text{ s}) \times 16000\text{ V/s} = -0.24\text{ V}$

• 下降沿（半周期内从 $+2\text{ V}$ 线性降至 $-2\text{ V}$，历时 $250\,\mu\text{s}$）：

  $\frac{du_i(t)}{dt} = \frac{\Delta u_i}{\Delta t} = \frac{-2\text{ V} - 2\text{ V}}{250 \times 10^{-6}\text{ s}} = -16000\text{ V/s}$

  此期间对应的输出电压为：

  $u_o(t) = -RC \frac{du_i(t)}{dt} = -(1.5 \times 10^{-5}\text{ s}) \times (-16000\text{ V/s}) = +0.24\text{ V}$

输出电压在 $-0.24\text{ V}$ 与 $+0.24\text{ V}$ 之间交替突变，波形形状为标准的方波（矩形波）。 输出电压的最大绝对值为：

$U_{omax} = 0.24\text{ V}$

【答案】

1. 输出电压表达式为 $u_o(t) = -3 \cos(1.0 \times 10^5 t)\text{ V}$，输出比输入滞后 $90^\circ$。
2. 输出波形为方波，输出最大绝对值为 $0.24\text{ V}$。