Mika Field Notes

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微积分-CH4-积分

笔记内容的组织顺序为：定积分定义与面积 -> 不定积分换元法（第一类与第二类） -> 分部积分法 -> 定积分性质与特殊公式 -> 变上限积分 -> 定积分的应用（体积）。

May 3, 2026 修考 45 min read

第3章 积分部分

微积分核心突破：从基础不定积分到多元应用的全能通关指南

本笔记旨在完美融合日语原版教材《積分法とその応用》*的知识体系与*考研高数复习精讲的高效解题技巧（凑微分判定法、分部积分表格法、华莱士公式、变限求导五大变体等）。通过模块化的递进讲解，帮助您攻克所有不定积分、定积分、广义积分、变上限积分以及几何应用的难题。

目录

  1. 第一板块：积分的基石——基础公式与线性变换
  2. 第二板块：凑微分法（u-Substitution）与三角函数积分技巧
  3. 第三板块：换元法进阶——根式代换与超越置换
  4. 第四板块：部分积分法（Integration by Parts）与“表格法”秒杀
  5. 第五板块：有理函数与部分分数分解（Partial Fractions）
  6. 第六板块：定积分计算秘籍、对称性与华莱士公式
  7. 第七板块：变上限积分（Variable Upper Limit Integrals）与不等式证明
  8. 第八板块：广义积分（Improper Integrals）与 Beta-Gamma 特殊函数
  9. 第九板块：定积分的几何应用（面积、弧长、体积、表面积）
  10. 第十板块：定积分的数值近似计算（台形公式与シンプソン公式）

第一板块：积分的基石——基础公式与线性变换

积分的本质是求导的逆运算。若 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)，则称 F(x)F(x) 为 f(x)f(x) 的一个原函数，记作 ∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx = F(x) + C。

1. 核心积分公式对照表

被积函数 f(x)f(x)原函数 F(x)=∫f(x)dxF(x) = \int f(x)dx备注
xα (α≠−1)x^{\alpha}\ (\alpha \neq -1)xα+1α+1+C\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C幂函数
x−1=1xx^{-1} = \frac{1}{x}log⁡∥x∥+\log\|x\| +自然对数（日文教材常写作 log⁡x\log x）
exe^xex+Ce^x + C指数函数
ax (a>0,a≠1)a^x\ (a > 0, a \neq 1)axlog⁡a+C\frac{a^x}{\log a} + Clog⁡a\log a 即 ln⁡a\ln a
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x + C三角函数
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x + C三角函数
sec⁡2x=1cos⁡2x\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}tan⁡x+C\tan x + C正切原函数
csc⁡2x=1sin⁡2x\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}−cot⁡x+C-\cot x + C余切原函数
1x2+a2\frac{1}{x^2 + a^2}1atan⁡−1xa+C\frac{1}{a} \tan^{-1}\frac{x}{a} + C逆正切（弧度制）
1a2−x2 (a>0)\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\ (a > 0)sin⁡−1xa+C\sin^{-1}\frac{x}{a} + C逆正弦
1x2−a2\frac{1}{x^2 - a^2}12alog⁡∥x−ax+a∥+\frac{1}{2a}\log\left\|\frac{x-a}{x+a}\right\| +有理分式基础
1x2+a\frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}log⁡∥x+x2+a∥+\log\|x + \sqrt{x^2 + a}\| +双曲/根式基础

2. 积分的线性变换法则（一次复合函数代换）

当自变量不是 xx，而是一次函数 ax+bax+b 时，可以直接利用复合求导逆法则，省去繁琐的换元步骤：

∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C

3. 经典母题解析

题型 1.1：基本幂函数与代数式化简

题目：计算 ∫(x23−3xx+8x)dx\int \left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{3}{x\sqrt{x}} + \frac{8}{x}\right)dx

解析： 首先将各项化为指数形式：

x23=x2/3,3xx=3x−3/2,8x=8x−1\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3},\quad \frac{3}{x\sqrt{x}} = 3x^{-3/2},\quad \frac{8}{x} = 8x^{-1}

直接逐项积分：

∫(x2/3−3x−3/2+8x−1)dx=x5/35/3−3⋅x−1/2−1/2+8log⁡∣x∣+C\int \left(x^{2/3} - 3x^{-3/2} + 8x^{-1}\right)dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} - 3\cdot\frac{x^{-1/2}}{-1/2} + 8\log|x| + C

=35x53+6x+8log⁡∣x∣+C\quad = \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5} + \frac{6}{\sqrt{x}} + 8\log|x| + C

题型 1.2：平方差基础有理分式积分

题目：计算 ∫59x2−4dx\int \frac{5}{9x^2 - 4}dx

解析： 首先提取分母的系数，化为标准形式 1x2−a2\frac{1}{x^2 - a^2}：

∫59x2−4dx=59∫1x2−(23)2dx\int \frac{5}{9x^2 - 4}dx = \frac{5}{9} \int \frac{1}{x^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} dx

代入公式 ∫1x2−a2dx=12alog⁡∣x−ax+a∣\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\log\left|\frac{x-a}{x+a}\right|，此时 a=23a = \frac{2}{3}：

原式=59×(12×23log⁡∣x−23x+23∣)+C=59×34log⁡∣3x−23x+2∣+C=512log⁡∣3x−23x+2∣+C\text{原式} = \frac{5}{9} \times \left( \frac{1}{2 \times \frac{2}{3}} \log\left|\frac{x - \frac{2}{3}}{x + \frac{2}{3}}\right| \right) + C = \frac{5}{9} \times \frac{3}{4} \log\left|\frac{3x - 2}{3x + 2}\right| + C = \frac{5}{12}\log\left|\frac{3x - 2}{3x + 2}\right| + C

这一题应该使用部分分式展开的方法。

第二板块：凑微分法（u-Substitution）与三角函数积分技巧

1. 凑微分法的本质

利用微分关系 dy=y′dxdy = y'dx。若被积函数可以写成 f(g(x))g′(x)dxf(g(x))g'(x)dx 的形式，则：

∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(g(x))d(g(x))=u=g(x)∫f(u)du\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(g(x))d(g(x)) \stackrel{u=g(x)}{=} \int f(u)du

常见的凑微分配对形式：

  • xdx=12d(x2)x dx = \frac{1}{2} d(x^2)
  • 1xdx=d(log⁡x)\frac{1}{x} dx = d(\log x)
  • exdx=d(ex)e^x dx = d(e^x)
  • cos⁡xdx=d(sin⁡x)\cos x dx = d(\sin x)， sin⁡xdx=−d(cos⁡x)\sin x dx = -d(\cos x)
  • sec⁡2xdx=d(tan⁡x)\sec^2 x dx = d(\tan x)

2. 三角函数凑微分精讲

这是考研复习精讲中的精髓技巧。若被积函数为 R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x, \cos x)，可通过判定奇偶性直接找出最简凑微分路径：

  1. 若 R(−sin⁡x,cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)（关于 sin⁡x\sin x 为奇函数）：
    • 方法：保留一个 sin⁡x\sin x，其余化为 cos⁡x\cos x，凑 d(cos⁡x)d(\cos x)。
    • 技巧：sin⁡xdx=−d(cos⁡x)\sin x dx = -d(\cos x)。
  2. 若 R(sin⁡x,−cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)（关于 cos⁡x\cos x 为奇函数）：
    • 方法：保留一个 cos⁡x\cos x，其余化为 sin⁡x\sin x，凑 d(sin⁡x)d(\sin x)。
    • 技巧：cos⁡xdx=d(sin⁡x)\cos x dx = d(\sin x)。
  3. 若 R(−sin⁡x,−cos⁡x)=R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)（关于 sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x 整体同号变号）：
    • 方法：全化为 tan⁡x\tan x 与 sec⁡2x\sec^2 x，凑 d(tan⁡x)d(\tan x)。
    • 技巧：sec⁡2xdx=d(tan⁡x)\sec^2 x dx = d(\tan x)。

3. 经典母题解析

题型 2.1：三角函数凑微分（关于正弦为奇函数）

题目：计算 ∫sin⁡3xcos⁡2xdx\int \sin^3 x \cos^2 x dx

解析： 令 R(sin⁡x,cos⁡x)=sin⁡3xcos⁡2xR(\sin x, \cos x) = \sin^3 x \cos^2 x。由于 R(−sin⁡x,cos⁡x)=(−sin⁡x)3cos⁡2x=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x, \cos x) = (-\sin x)^3 \cos^2 x = -R(\sin x, \cos x)，因此关于 sin⁡x\sin x 为奇函数。 我们拆分出一个 sin⁡x\sin x 凑微分：

∫sin⁡3xcos⁡2xdx=∫sin⁡2xcos⁡2x(sin⁡xdx)=−∫(1−cos⁡2x)cos⁡2xd(cos⁡x)\int \sin^3 x \cos^2 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x (\sin x dx) = -\int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x d(\cos x)

令 t=cos⁡xt = \cos x：

原式=−∫(1−t2)t2dt=∫(t4−t2)dt=15t5−13t3+C=15cos⁡5x−13cos⁡3x+C\text{原式} = -\int (1 - t^2)t^2 dt = \int (t^4 - t^2) dt = \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{3}t^3 + C = \frac{1}{5}\cos^5 x - \frac{1}{3}\cos^3 x + C

题型 2.2：分式凑微分（指数置换）

题目：计算 ∫1ex+e−xdx\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx

解析： 分子分母同乘以 exe^x：

∫1ex+e−xdx=∫exe2x+1dx\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx

注意到分子的 exdx=d(ex)e^x dx = d(e^x)，直接凑微分：

原式=∫1(ex)2+1d(ex)=u=extan⁡−1(ex)+C\text{原式} = \int \frac{1}{(e^x)^2 + 1} d(e^x) \stackrel{u=e^x}{=} \tan^{-1}(e^x) + C

对于分式 除了 部分分式展开，还要看分子能不能够提出来

分母要看能不能形成常见的变化式

题型 2.2：分式凑微分（分母项数高于分子项数）

∫x41−x2 dx\int \frac{x^4}{1 - x^2} \, dx

2. 详细解题过程与答案
第一步：化简真分式（多项式除法或凑项）

由于分子 x4x^4 的次数高于分母 1−x21 - x^2 的次数，这是一个假分式，需要先化为整式与真分式之和。我们可以通过“加项减项”技巧来快速化简：

在分子上同时减去 11 再加上 11：

x41−x2=x4−1+11−x2\frac{x^4}{1 - x^2} = \frac{x^4 - 1 + 1}{1 - x^2}

利用平方差公式拆分 x4−1x^4 - 1：

x4−1=(x2−1)(x2+1)=−(1−x2)(x2+1)x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = -(1 - x^2)(x^2 + 1)

将其代回原式中：

x41−x2=−(1−x2)(x2+1)+11−x2=−(x2+1)+11−x2=−x2−1+11−x2\frac{x^4}{1 - x^2} = \frac{-(1 - x^2)(x^2 + 1) + 1}{1 - x^2} = -(x^2 + 1) + \frac{1}{1 - x^2} = -x^2 - 1 + \frac{1}{1 - x^2}

第二步：逐项积分

将化简后的表达式代入积分号中，利用积分的线性性质拆开计算：

∫x41−x2 dx=∫(−x2−1+11−x2)dx\int \frac{x^4}{1 - x^2} \, dx = \int \left( -x^2 - 1 + \frac{1}{1 - x^2} \right) dx

=−∫x2 dx−∫1 dx+∫11−x2 dx= -\int x^2 \, dx - \int 1 \, dx + \int \frac{1}{1 - x^2} \, dx

分别计算每一项的积分：

  1. ∫x2 dx=13x3\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3
  2. ∫1 dx=x\int 1 \, dx = x
  3. ∫11−x2 dx=12ln⁡∣1+x1−x∣\int \frac{1}{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| （此为基本初等函数积分公式）
第三步：合并结果

将各项积分结果合并，并加上积分常数 CC：

∫x41−x2 dx=−13x3−x+12ln⁡∣1+x1−x∣+C\int \frac{x^4}{1 - x^2} \, dx = -\frac{1}{3}x^3 - x + \frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C

最终答案

−13x3−x+12ln⁡∣1+x1−x∣+C-\frac{1}{3}x^3 - x + \frac{1}{2}\ln\left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C

第三板块：换元法进阶——根式代换与超越置换

当直接凑微分失效时，可通过变量代换彻底消除根号或超越函数。

1. 三大经典三角代换（消除二次根号）

当被积函数中含有二次根号 ±x2±a2\sqrt{\pm x^2 \pm a^2} 时，建立直角三角形辅助代换：

根式特征代换公式微分关系三角恒等式基础
a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}x=asin⁡t (t∈[−π2,π2])x = a\sin t\ (t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])dx=acos⁡tdtdx = a\cos t dta2−x2=acos⁡t\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos t
a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}x=atan⁡t (t∈(−π2,π2))x = a\tan t\ (t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))dx=asec⁡2tdtdx = a\sec^2 t dta2+x2=asec⁡t\sqrt{a^2 + x^2} = a\sec t
x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x=asec⁡tx = a\sec tdx=asec⁡ttan⁡tdtdx = a\sec t\tan t dtx2−a2=atan⁡t\sqrt{x^2 - a^2} = a\tan t

2. 无理函数（無理関数）置换分类指南

这是日文教材中难度极高的一节，这里梳理出最完备的解题路径：

  1. 单根式 ax+bn\sqrt[n]{ax+b}：直接令 ax+bn=t\sqrt[n]{ax+b} = t，则 x=tn−bax = \frac{t^n-b}{a}， dx=natn−1dtdx = \frac{n}{a}t^{n-1}dt。
  2. 分式根式 ax+bcx+dn\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}：整体令其为 tt，反解出 xx。
  3. 二次项根式 ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c}：
    • 配方法：化为上述三大三角置换的标准形式。
    • 逆数置换法（针对分母含有 x2x^2 的根式）：令 x=1tx = \frac{1}{t}， dx=−1t2dtdx = -\frac{1}{t^2}dt。

3. 经典母题解析

题型 3.1：经典三角代换

题目：计算 ∫a2−x2dx(a>0)\int \sqrt{a^2 - x^2} dx \quad (a > 0)

解析： 令 x=asin⁡tx = a\sin t，t∈[−π2,π2]t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]，则 dx=acos⁡tdtdx = a\cos t dt，a2−x2=acos⁡t \sqrt{a^2-x^2} = a\cos t。

∫a2−x2dx=∫(acos⁡t)(acos⁡tdt)=a2∫cos⁡2tdt\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int (a\cos t)(a\cos t dt) = a^2 \int \cos^2 t dt

利用倍角公式 cos⁡2t=1+cos⁡2t2\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}：

原式=a22∫(1+cos⁡2t)dt=a22(t+12sin⁡2t)+C=a22(t+sin⁡tcos⁡t)+C\text{原式} = \frac{a^2}{2} \int (1 + \cos 2t) dt = \frac{a^2}{2} \left( t + \frac{1}{2}\sin 2t \right) + C = \frac{a^2}{2} (t + \sin t \cos t) + C

由于 sin⁡t=xa\sin t = \frac{x}{a}，则 t=sin⁡−1xat = \sin^{-1}\frac{x}{a}，且 cos⁡t=1−(xa)2=a2−x2a\cos t = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}。 代回原变量 xx：

原式=a22sin⁡−1xa+12xa2−x2+C\text{原式} = \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + \frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - x^2} + C

题型 3.2：逆数置换法（日文教材例题 15 难点突破）

题目：计算 ∫1x2x2−3dx(x>3)\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 3}} dx \quad (x > \sqrt{3})

解析： 由于根号外有高阶项 x2x^2，直接进行逆数置换。 令 x=1tx = \frac{1}{t}（因为 x>0x > 0，所以 t>0t > 0），则 dx=−1t2dtdx = -\frac{1}{t^2} dt。 根式变形为：

x2−3=1t2−3=1−3t2t\sqrt{x^2 - 3} = \sqrt{\frac{1}{t^2} - 3} = \frac{\sqrt{1 - 3t^2}}{t}

代入原积分：

∫1x2x2−3dx=∫t2⋅t1−3t2(−1t2dt)=−∫t1−3t2dt\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 3}} dx = \int t^2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1 - 3t^2}} \left( -\frac{1}{t^2} dt \right) = -\int \frac{t}{\sqrt{1 - 3t^2}} dt

这里可以用凑微分法： tdt=−16d(1−3t2)t dt = -\frac{1}{6} d(1 - 3t^2)：

原式=16∫(1−3t2)−1/2d(1−3t2)=16⋅2(1−3t2)1/2+C=131−3t2+C\text{原式} = \frac{1}{6} \int (1 - 3t^2)^{-1/2} d(1 - 3t^2) = \frac{1}{6} \cdot 2(1 - 3t^2)^{1/2} + C = \frac{1}{3}\sqrt{1 - 3t^2} + C

将 t=1xt = \frac{1}{x} 代回：

原式=131−3x2+C=x2−33x+C\text{原式} = \frac{1}{3}\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}} + C = \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{3x} + C

第四板块：分部积分法（Integration by Parts）与“表格法”秒杀

部分积分法公式源于乘积求导法则： ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du。

1. 选 uu 的“反对幂指三”优先级判定法

若被积函数是两种不同类型函数相乘，设 uu 的顺序应遵循：

反→对→幂→指→三\text{反} \to \text{对} \to \text{幂} \to \text{指} \to \text{三}

  • 反（反三角函数） >> 对（对数函数） >> 幂（幂/多项式） >> 指（指数函数） >> 三（三角函数）。
  • 排在前面的优先设为 uu（进行微分），排在后面的优先与 dxdx 结合设为 dvdv（进行积分）。

2. 考研复习绝招：部分积分表格法（Table Method）

当遇到 ∫Pn(x)eaxdx\int P_n(x) e^{ax} dx 或 ∫Pn(x)cos⁡(bx)dx\int P_n(x) \cos(bx) dx（其中 Pn(x)P_n(x) 为 nn 次多项式）时，使用表格法可在 5 秒内得出答案。

表格构建规则：

  1. 左列（微分列 uu）：写上多项式，依次求导，直到导数为 00。

  2. 右列（积分列 vv）：写上另一部分函数，依次积分。

  3. 连接与正负号：

    • 将第一行的 uu 交叉连接到第二行的 vv。
    • 符号依次标注为 +, −, +, −, …+,\ -, \ +,\ -, \ \dots。
    • 将连接路线相乘并加总即为最终结果！

    image-20260531210305313

3. 经典母题解析

题型 4.1：表格法秒杀多项式 ×\times 三角函数

题目：计算 ∫x2cos⁡xdx\int x^2 \cos x dx

解析： 按照“反对幂指三”，幂函数 x2x^2 优先级高于三角函数 cos⁡x\cos x。 我们建立表格：

符号微分列 uu（求导）积分列 vv（积分）
x2x^2cos⁡x\cos x
++↘\searrow 2x2xsin⁡x\sin x
−-↘\searrow 22−cos⁡x-\cos x
++↘\searrow 00−sin⁡x-\sin x

将交叉乘积按符号累加：

∫x2cos⁡xdx=+(x2)(sin⁡x)−(2x)(−cos⁡x)+(2)(−sin⁡x)+C\int x^2 \cos x dx = + (x^2)(\sin x) - (2x)(-\cos x) + (2)(-\sin x) + C

=x2sin⁡x+2xcos⁡x−2sin⁡x+C\quad = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C

题型 4.2：同形出现循环型（日文教材例题 6 重点）

题目：计算 I=∫eaxsin⁡bxdx(a≠0,b≠0)I = \int e^{ax} \sin bx dx \quad (a \neq 0, b \neq 0)

解析： 设 u=sin⁡bxu = \sin bx， dv=eaxdxdv = e^{ax} dx，则 du=bcos⁡bxdxdu = b\cos bx dx，v=1aeaxv = \frac{1}{a}e^{ax}。

I=1aeaxsin⁡bx−ba∫eaxcos⁡bxdxI = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos bx dx

对右边积分再次使用部分积分法，设 u=cos⁡bxu = \cos bx，dv=eaxdxdv = e^{ax} dx：

∫eaxcos⁡bxdx=1aeaxcos⁡bx−∫(1aeax)(−bsin⁡bx)dx=1aeaxcos⁡bx+baI\int e^{ax} \cos bx dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx - \int \left(\frac{1}{a}e^{ax}\right)(-b\sin bx) dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a} I

将此式代回原方程：

I=1aeaxsin⁡bx−ba(1aeaxcos⁡bx+baI)=eax(sin⁡bxa−bcos⁡bxa2)−b2a2II = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a} \left( \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a} I \right) = e^{ax} \left( \frac{\sin bx}{a} - \frac{b\cos bx}{a^2} \right) - \frac{b^2}{a^2} I

移项整理 II：

(1+b2a2)I=eax(asin⁡bx−bcos⁡bxa2)  ⟹  a2+b2a2I=eax(asin⁡bx−bcos⁡bxa2)\left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right) I = e^{ax}\left(\frac{a\sin bx - b\cos bx}{a^2}\right) \implies \frac{a^2+b^2}{a^2} I = e^{ax}\left(\frac{a\sin bx - b\cos bx}{a^2}\right)

I=eaxa2+b2(asin⁡bx−bcos⁡bx)+CI = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a\sin bx - b\cos bx) + C

第五板块：有理函数与部分分数分解（Partial Fractions）

有理分式 ∫P(x)Q(x)dx\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx，在分子次数 ≥\ge 分母次数时，先用多项式除法化为“整式 ++ 真分式”；然后对真分式进行部分分数分解（部分分数分解法）。

1. 拆分定理模板表

分母因式分解项拆分后的标准分式模板求解未知常数方法
互异单线性因式 (x−a)(x−b)(x-a)(x-b)Ax−a+Bx−b\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}留数法（Heaviside 覆盖法）
重根线性因式 (x−a)n(x-a)^nA1x−a+A2(x−a)2+⋯+An(x−a)n\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}代入特殊值法 / 待定系数法
无实根二次因式 x2+px+qx^2+px+qBx+Cx2+px+q\frac{Bx+C}{x^2+px+q}配方为 (x−h)2+a2(x-h)^2+a^2 后凑对数与逆正切

2. 留数法（快速拆分绝招）

若分母全为单线性因式，求某个分母 x−ax-a 的常数 AA：

只需在原真分式中，把 (x−a) 盖住，其余项代入 x=a 即可！\text{只需在原真分式中，把 } (x-a) \text{ 盖住，其余项代入 } x = a \text{ 即可！}

3. 经典母题解析

题型 5.1：多项式除法与留数法综合

题目：计算 ∫x5+x4−8x3−4xdx\int \frac{x^5 + x^4 - 8}{x^3 - 4x} dx

解析： 第一步：分子次数（5次） ≥\ge 分母次数（3次），进行多项式除法：

x5+x4−8x3−4x=x2+x+4+4x2+16x−8x3−4x\frac{x^5 + x^4 - 8}{x^3 - 4x} = x^2 + x + 4 + \frac{4x^2 + 16x - 8}{x^3 - 4x}

第二步：对真分式部分进行因式分解与拆分：

4x2+16x−8x(x−2)(x+2)=Ax+Bx−2+Cx+2\frac{4x^2 + 16x - 8}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 2}

第三步：用留数法计算 A,B,CA, B, C：

  • 求 AA：盖住原式的 xx，代入 x=0x=0：

    A=4x2+16x−8(x−2)(x+2)∣x=0=−8(−2)(2)=2A = \left. \frac{4x^2 + 16x - 8}{(x - 2)(x + 2)} \right|_{x=0} = \frac{-8}{(-2)(2)} = 2

  • 求 BB：盖住原式的 (x−2)(x-2)，代入 x=2x=2：

    B=4x2+16x−8x(x+2)∣x=2=16+32−82(4)=408=5B = \left. \frac{4x^2 + 16x - 8}{x(x + 2)} \right|_{x=2} = \frac{16 + 32 - 8}{2(4)} = \frac{40}{8} = 5

  • 求 CC：盖住原式的 (x+2)(x+2)，代入 x=−2x=-2：

    C=4x2+16x−8x(x−2)∣x=−2=16−32−8−2(−4)=−248=−3C = \left. \frac{4x^2 + 16x - 8}{x(x - 2)} \right|_{x=-2} = \frac{16 - 32 - 8}{-2(-4)} = \frac{-24}{8} = -3

所以：

原分式=x2+x+4+2x+5x−2−3x+2\text{原分式} = x^2 + x + 4 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2}

第四步：积分求解：

∫(x2+x+4+2x+5x−2−3x+2)dx=13x3+12x2+4x+2log⁡∣x∣+5log⁡∣x−2∣−3log⁡∣x+2∣+C\int \left( x^2 + x + 4 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} \right) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4x + 2\log|x| + 5\log|x-2| - 3\log|x+2| + C

=13x3+12x2+4x+log⁡∣x2(x−2)5(x+2)3∣+C\quad = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 4x + \log\left| \frac{x^2(x-2)^5}{(x+2)^3} \right| + C

第六板块：定积分计算秘籍、对称性与华莱士公式

定积分计算中，利用区间对称性与特殊公式可以大幅精简步骤。

1. 对称区间积分性质（奇零偶双倍）

若积分区间关于原点对称，即为 [−a,a][-a, a]：

∫−aaf(x)dx={0,f(x) 是奇函数2∫0af(x)dx,f(x) 是偶函数\int_{-a}^{a} f(x)dx = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 是奇函数} \\ 2\int_{0}^{a} f(x)dx, & f(x) \text{ 是偶函数} \end{cases}

2. 华莱士公式（Wallis / 沃利斯公式）

当遇到在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 区间的 sin⁡nx\sin^n x 或 cos⁡nx\cos^n x 积分时，直接使用此考研必背公式秒杀：

In=∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx={n−1n⋅n−3n−2⋅⋯⋅12⋅π2,n 为正偶数n−1n⋅n−3n−2⋅⋯⋅23⋅1,n 为正奇数I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \dots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为正偶数} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \dots \cdot \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{ 为正奇数} \end{cases}

3. 区分求积法（定积分与和的极限）

利用定义，将数列和的极限转化为定积分计算：

lim⁡n→∞∑i=1nf(in)1n=∫01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} f(x) dx

4. 经典母题解析

题型 6.1：华莱士公式秒杀

题目：计算 ∫0π2cos⁡5xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x dx

解析： 此处 n=5n = 5（奇数），直接套用华莱士公式：

∫0π2cos⁡5xdx=5−15⋅5−35−2⋅1=45⋅23=815\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x dx = \frac{5-1}{5} \cdot \frac{5-3}{5-2} \cdot 1 = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15}

题型 6.2：利用区间对称性化简

题目：计算 ∫−111+xcos⁡xex+e−xdx\int_{-1}^{1} \frac{1 + x\cos x}{e^x + e^{-x}} dx

解析： 将积分拆分为两部分：

原式=∫−111ex+e−xdx+∫−11xcos⁡xex+e−xdx\text{原式} = \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx + \int_{-1}^{1} \frac{x\cos x}{e^x + e^{-x}} dx

  1. 分析第二部分被积函数： g(x)=xcos⁡xex+e−xg(x) = \frac{x\cos x}{e^x + e^{-x}}。由于 g(−x)=−xcos⁡(−x)e−x+ex=−g(x)g(-x) = \frac{-x\cos(-x)}{e^{-x} + e^x} = -g(x)，该函数为奇函数。在对称区间 [−1,1][-1, 1] 上的积分为 00。

  2. 分析第一部分： f(x)=1ex+e−xf(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}。由于 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)，该函数为偶函数。

    原式=2∫011ex+e−xdx=2∫01exe2x+1dx\text{原式} = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx

    利用凑微分法（同题型 2.2），令 u=exu = e^x，对应上下限从 [0,1][0, 1] 变为 [1,e][1, e]：

    原式=2∫1e1u2+1du=2[tan⁡−1u]1e=2tan⁡−1(e)−π2\text{原式} = 2 \int_{1}^{e} \frac{1}{u^2 + 1} du = 2 \left[ \tan^{-1} u \right]_{1}^{e} = 2\tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{2}

题型 6.3：定积分与和的极限（日文教材例题 21）

题目：求 lim⁡n→∞(1n2+12+1n2+22+⋯+1n2+n2)\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1^2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n^2}} \right)

解析： 提取分母的 nn，重写为 Riemann 和的形式：

Sn=∑i=1n1n2+i2=∑i=1n1n1+(in)2=∑i=1n11+(in)2⋅1nS_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + i^2}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n\sqrt{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2}} \cdot \frac{1}{n}

取极限转化为定积分：

lim⁡n→∞Sn=∫0111+x2dx\lim_{n\to\infty} S_n = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx

代入积分公式 ∫1x2+a2dx=log⁡∣x+x2+a2∣\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx = \log|x + \sqrt{x^2+a^2}|：

原式=[log⁡(x+1+x2)]01=log⁡(1+2)−log⁡(1)=log⁡(1+2)\text{原式} = \left[ \log\left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]_{0}^{1} = \log(1 + \sqrt{2}) - \log(1) = \log(1 + \sqrt{2})

第七板块：变上限积分（Variable Upper Limit Integrals）与不等式证明

1. 变上限积分的求导公式（Leibniz 规则及变体）

对于上限和下限均含有自变量的积分，其求导法则是考研与期末考试的核心必考点：

ddx(∫a(x)b(x)f(t)dt)=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x)\frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt \right) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)

2. 五大必考变上限求导变体

  1. 复合上限： ddx∫0g(x)f(t)dt=f(g(x))g′(x)\frac{d}{dx}\int_0^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x)。

  2. 双侧变量： ddx∫a(x)b(x)f(t)dt=f(b(x))b′(x)−f(a(x))a′(x)\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)。

  3. 被积式中含 xx（可直接提取）：

    ddx(∫0xxf(t)dt)=ddx(x∫0xf(t)dt)=∫0xf(t)dt+xf(x)\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} x f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} \left( x \int_{0}^{x} f(t) dt \right) = \int_{0}^{x} f(t) dt + x f(x)

  4. 被积式中含 xx 与 tt 复合（需用置换消去 xx）： 对于 ∫0xf(x−t)dt\int_0^x f(x-t) dt，令 u=x−tu = x-t，则 dt=−dudt = -du，上限变为 00，下限变为 xx：

    ∫0xf(x−t)dt=∫0xf(u)du  ⟹  求导结果为 f(x)\int_0^x f(x-t) dt = \int_0^x f(u) du \implies \text{求导结果为 } f(x)

3. 经典母题解析

题型 7.1：双侧变限求导证明

题目：证明 ddx∫2xx2f(t)dt=2xf(x2)−2f(2x)\frac{d}{dx} \int_{2x}^{x^2} f(t) dt = 2x f(x^2) - 2f(2x)

解析： 直接应用双侧变限求导公式，其中 b(x)=x2b(x) = x^2 且 a(x)=2xa(x) = 2x：

ddx∫2xx2f(t)dt=f(b(x))⋅b′(x)−f(a(x))⋅a′(x)=f(x2)⋅(2x)−f(2x)⋅(2)=2xf(x2)−2f(2x)\frac{d}{dx} \int_{2x}^{x^2} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) = f(x^2) \cdot (2x) - f(2x) \cdot (2) = 2x f(x^2) - 2f(2x)

命题得证。

题型 7.2：利用变限函数证明积分不等式（高难挑战题）

题目：设 f(x)f(x) 在 [0,1][0, 1] 上可导，且 f(0)=0f(0) = 0，0<f′(x)<10 < f'(x) < 1。证明：

∫01f3(x)dx≤[∫01f(x)dx]2\int_{0}^{1} f^3(x)dx \le \left[ \int_{0}^{1} f(x)dx \right]^2

解析： 构造变上限辅助函数法是攻克此类证明题的唯一利器。 构造辅助函数：

F(x)=∫0xf3(t)dt−[∫0xf(t)dt]2(x∈[0,1])F(x) = \int_{0}^{x} f^3(t)dt - \left[ \int_{0}^{x} f(t)dt \right]^2 \quad (x \in [0, 1])

易知 F(0)=0F(0) = 0。我们对其求导：

F′(x)=f3(x)−2(∫0xf(t)dt)⋅f(x)=f(x)[f2(x)−2∫0xf(t)dt]F'(x) = f^3(x) - 2 \left( \int_{0}^{x} f(t)dt \right) \cdot f(x) = f(x) \left[ f^2(x) - 2 \int_{0}^{x} f(t)dt \right]

设 g(x)=f2(x)−2∫0xf(t)dtg(x) = f^2(x) - 2 \int_{0}^{x} f(t)dt。因为 f(0)=0,f′(x)>0f(0) = 0, f'(x) > 0，所以 f(x)≥0f(x) \ge 0。 要判定 F′(x)F'(x) 的符号，需确定 g(x)g(x) 的符号。对 g(x)g(x) 求导：

g′(x)=2f(x)f′(x)−2f(x)=2f(x)[f′(x)−1]g'(x) = 2f(x)f'(x) - 2f(x) = 2f(x)[f'(x) - 1]

因为已知 f′(x)<1f'(x) < 1，故 f′(x)−1<0f'(x) - 1 < 0；且 f(x)≥0f(x) \ge 0，因此：

g′(x)≤0g'(x) \le 0

因为 g(0)=f2(0)−0=0g(0) = f^2(0) - 0 = 0，且 g(x)g(x) 单调递减，所以在 x∈[0,1]x \in [0, 1] 时：

g(x)≤g(0)=0g(x) \le g(0) = 0

由此可得：

F′(x)=f(x)g(x)≤0F'(x) = f(x)g(x) \le 0

这说明 F(x)F(x) 在 [0,1][0, 1] 上单调递减，因此：

F(1)≤F(0)=0F(1) \le F(0) = 0

即：

∫01f3(t)dt−[∫01f(t)dt]2≤0  ⟹  ∫01f3(x)dx≤[∫01f(x)dx]2\int_{0}^{1} f^3(t)dt - \left[ \int_{0}^{1} f(t)dt \right]^2 \le 0 \implies \int_{0}^{1} f^3(x)dx \le \left[ \int_{0}^{1} f(x)dx \right]^2

证明完毕。

第八板块：广义积分（Improper Integrals）与 Beta-Gamma 特殊函数

广义积分（又称广义积分，特异积分）包含两种：积分区间无限（无限积分）与被积函数无界（无界函数的特异积分）。

1. 广义积分收敛性的 λ\lambda-判别法

  • 无限积分判别法：对于 ∫a∞1xλdx (a>0)\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{\lambda}} dx\ (a > 0)：

    λ>1 时收敛，λ≤1 时发散\lambda > 1 \text{ 时收敛}， \quad \lambda \le 1 \text{ 时发散}

  • 无界函数（特异点在 aa）判别法：对于 ∫ab1(x−a)λdx\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{\lambda}} dx：

    λ<1 时收敛，λ≥1 时发散\lambda < 1 \text{ 时收敛}， \quad \lambda \ge 1 \text{ 时发散}

2. Beta 函数与 Gamma 函数核心公式体系

这是日文教材 3.5 节的压轴内容，必须牢记其定义与递推性质：

Gamma 函数 Γ(p)\Gamma(p)：

Γ(p)=∫0∞e−xxp−1dx(p>0)\Gamma(p) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p-1} dx \quad (p > 0)

  • 递推公式： Γ(p+1)=pΓ(p)\Gamma(p+1) = p\Gamma(p)
  • 阶乘性质：若 nn 为正整数， Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n! 且 Γ(1)=1\Gamma(1) = 1
  • 半整数值： Γ(12)=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

Beta 函数 B(p,q)B(p, q)：

B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1dx(p>0,q>0)B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \quad (p > 0, q > 0)

  • 对称性： B(p,q)=B(q,p)B(p, q) = B(q, p)

  • 与 Gamma 函数关系（核心关系式）：

    B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}

  • 三角函数表现形式：

    B(p,q)=2∫0π2(sin⁡θ)2p−1(cos⁡θ)2q−1dθB(p, q) = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)^{2p-1} (\cos \theta)^{2q-1} d\theta

3. 经典母题解析

题型 8.1：利用 Gamma 函数求解高难积分

题目：计算广义积分 ∫0∞x2e−2xdx\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x} dx

解析： 我们通过换元将其化为标准的 Gamma 函数形式。 令 u=2xu = 2x，则 x=u2x = \frac{u}{2}，dx=12dudx = \frac{1}{2} du。 代入原积分（上下限仍为 [0,∞)[0, \infty)）：

∫0∞x2e−2xdx=∫0∞(u2)2e−u(12du)=18∫0∞u2e−udu\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x} dx = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{u}{2} \right)^2 e^{-u} \left( \frac{1}{2} du \right) = \frac{1}{8} \int_{0}^{\infty} u^2 e^{-u} du

根据 Gamma 函数定义： ∫0∞u2e−udu=Γ(3)\int_{0}^{\infty} u^2 e^{-u} du = \Gamma(3)：

原式=18Γ(3)\text{原式} = \frac{1}{8} \Gamma(3)

利用阶乘递推关系： Γ(3)=2!=2\Gamma(3) = 2! = 2：

原式=18×2=14\text{原式} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}

题型 8.2：利用 Beta 函数公式求解根式广义积分

题目：计算 ∫011x(1−x)dx\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx

解析： 该积分为特异积分（在 00 和 11 处无界）。我们将其写作：

∫01x−1/2(1−x)−1/2dx\int_{0}^{1} x^{-1/2} (1-x)^{-1/2} dx

这正好符合 Beta 函数的定义：

原式=B(12,12)\text{原式} = B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

利用与 Gamma 函数的关系式：

B(12,12)=Γ(1/2)Γ(1/2)Γ(1)=π⋅π1=πB\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(1)} = \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{1} = \pi

即该广义积分收敛，其值为 π\pi。

第九板块：定积分的几何应用（面积、弧长、体积、表面积）

利用微元法，定积分可以全面解决各类坐标系下的几何测量问题。

1. 核心计算公式指南

测量物理量直角坐标系式 y=f(x)y=f(x)媒介变数式 x=x(t),y=y(t)x=x(t), y=y(t)极坐标系式 r=r(θ)r=r(\theta)
面积 SS∫ab∥f(x)∥\int_{a}^{b} \|f(x)\|∫t1t2∥y(t)x′(t)∥\int_{t_1}^{t_2} \|y(t) x'(t)\|12∫αβr2dθ\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta
弧长 LL∫ab1+[f′(x)]2dx\int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx∫t1t2[x′(t)]2+[y′(t)]2dt\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt∫αβr2+[r′(θ)]2dθ\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta
旋转体体积 VxV_x∫abπ[f(x)]2dx\int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx (绕x轴)∫t1t2πy2(t)x′(t)dt\int_{t_1}^{t_2} \pi y^2(t) x'(t) dt
侧面积 SsideS_{side}2π∫ab∥f(x)∥1+[f′(x)]22\pi \int_{a}^{b} \|f(x)\| \sqrt{1 + [f'(x)]^2}2π∫t1t2y(t)[x′(t)]2+[y′(t)]2dt2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt

2. 经典母题解析

题型 9.1：极坐标下的面积与弧长（心脏线 Cardioid）

题目：求心形线 r=a(1+cos⁡θ) (a>0)r = a(1 + \cos \theta) \ (a > 0) 包围的面积 SS 与周长 LL。

解析： 根据对称性，上、下半部分对称，我们只需计算 θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] 区间后乘 2 即可。

1. 面积 SS 计算：

S=2×[12∫0πr2dθ]=∫0πa2(1+cos⁡θ)2dθ=a2∫0π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ)dθS = 2 \times \left[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} r^2 d\theta \right] = \int_{0}^{\pi} a^2 (1 + \cos \theta)^2 d\theta = a^2 \int_{0}^{\pi} (1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta

利用 ∫0πcos⁡θdθ=0\int_0^{\pi} \cos\theta d\theta = 0 和 ∫0πcos⁡2θdθ=π2\int_0^{\pi} \cos^2\theta d\theta = \frac{\pi}{2}：

S=a2(π+0+π2)=32πa2S = a^2 \left( \pi + 0 + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2}\pi a^2

2. 弧长 LL 计算：

求导数： r′(θ)=−asin⁡θr'(\theta) = -a\sin \theta。 根式化简项：

r2+(r′)2=a2(1+cos⁡θ)2+a2sin⁡2θ=a2(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ+sin⁡2θ)=a2(2+2cos⁡θ)r^2 + (r')^2 = a^2(1 + \cos \theta)^2 + a^2\sin^2 \theta = a^2(1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2(2 + 2\cos \theta)

利用半角公式 1+cos⁡θ=2cos⁡2θ21 + \cos \theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}：

r2+(r′)2=a4cos⁡2θ2=2a∣cos⁡θ2∣\sqrt{r^2 + (r')^2} = a\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} = 2a \left| \cos\frac{\theta}{2} \right|

因为 θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] 时 θ2∈[0,π2]\frac{\theta}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]，所以余弦值为正，绝对值直接拆开：

L=2×∫0π2acos⁡θ2dθ=4a[2sin⁡θ2]0π=8aL = 2 \times \int_{0}^{\pi} 2a\cos\frac{\theta}{2} d\theta = 4a \left[ 2\sin\frac{\theta}{2} \right]_{0}^{\pi} = 8a

题型 9.2：旋转体体积（椭圆 Ellipse）

题目：计算将椭圆 x2a2+y2b2=1 (a>b>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0) 绕 xx 轴旋转一周所得的旋转体体积 VV。

解析： 由椭圆方程可得 y2=b2(1−x2a2)y^2 = b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right)。其关于 yy 轴对称， x∈[−a,a]x \in [-a, a]。 代入绕 xx 轴旋转体积公式：

V=π∫−aay2dx=π∫−aab2(1−x2a2)dx=2πb2∫0a(1−x2a2)dxV = \pi \int_{-a}^{a} y^2 dx = \pi \int_{-a}^{a} b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) dx = 2\pi b^2 \int_{0}^{a} \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) dx

V=2πb2[x−x33a2]0a=2πb2(a−a3)=43πab2V = 2\pi b^2 \left[ x - \frac{x^3}{3a^2} \right]_{0}^{a} = 2\pi b^2 \left( a - \frac{a}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi a b^2

第十板块：定积分的数值近似计算（台形公式与シンプソン公式）

当原函数无法用初等函数表示时（例如椭圆积分、 ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx），只能通过数值近似。将区间 [a,b][a, b] 进行 NN 等分，步长 h=b−aNh = \frac{b-a}{N}，每个分点对应的值为 yi=f(a+ih)y_i = f(a + ih)。

1. 核心计算公式

台形公式（Trapezoidal Rule）：

∫abf(x)dx≈h2(y0+2(y1+y2+⋯+yN−1)+yN)\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{h}{2} \Big( y_0 + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{N-1}) + y_N \Big)

辛普森公式（Simpson’s Rule，要求等分数 N=2nN = 2n 为偶数）：

∫abf(x)dx≈h3[y0+4(y1+y3+⋯+y2n−1)+2(y2+y4+⋯+y2n−2)+y2n]\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{h}{3} \Big[ y_0 + 4(y_1 + y_3 + \dots + y_{2n-1}) + 2(y_2 + y_4 + \dots + y_{2n-2}) + y_{2n} \Big]

2. 经典母题解析（日文教材例题 34）

题目：将区间 [0,1][0, 1] 进行 10 等分，用辛普森公式求 ∫0111+xdx\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx 的近似值，并由此估算 log⁡2\log 2。

解析： 参数设置： a=0,b=1,N=2n=10  ⟹  h=1−010=0.1a = 0, b = 1, N = 2n = 10 \implies h = \frac{1-0}{10} = 0.1，被积函数 f(x)=11+xf(x) = \frac{1}{1+x}。

计算各分点的值：

  • y0=f(0)=1.0000000y_0 = f(0) = 1.0000000
  • y1=f(0.1)=1011≈0.9090909y_1 = f(0.1) = \frac{10}{11} \approx 0.9090909
  • y2=f(0.2)=1012≈0.8333333y_2 = f(0.2) = \frac{10}{12} \approx 0.8333333
  • y3=f(0.3)=1013≈0.7692308y_3 = f(0.3) = \frac{10}{13} \approx 0.7692308
  • y4=f(0.4)=1014≈0.7142857y_4 = f(0.4) = \frac{10}{14} \approx 0.7142857
  • y5=f(0.5)=1015≈0.6666667y_5 = f(0.5) = \frac{10}{15} \approx 0.6666667
  • y6=f(0.6)=1016≈0.6250000y_6 = f(0.6) = \frac{10}{16} \approx 0.6250000
  • y7=f(0.7)=1017≈0.5882353y_7 = f(0.7) = \frac{10}{17} \approx 0.5882353
  • y8=f(0.8)=1018≈0.5555556y_8 = f(0.8) = \frac{10}{18} \approx 0.5555556
  • y9=f(0.9)=1019≈0.5263158y_9 = f(0.9) = \frac{10}{19} \approx 0.5263158
  • y10=f(1.0)=0.5000000y_{10} = f(1.0) = 0.5000000

分类汇总：

  1. 端点和： y0+y10=1.5000000y_0 + y_{10} = 1.5000000
  2. 奇数项和： y1+y3+y5+y7+y9=3.4595395y_1 + y_3 + y_5 + y_7 + y_9 = 3.4595395
  3. 偶数项和： y2+y4+y6+y8=2.7281746y_2 + y_4 + y_6 + y_8 = 2.7281746

套入辛普森公式：

∫0111+xdx≈0.13[1.5+4(3.4595395)+2(2.7281746)]\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx \approx \frac{0.1}{3} \Big[ 1.5 + 4(3.4595395) + 2(2.7281746) \Big]

=130[1.5+13.8381580+5.4563492]=130[20.7945072]≈0.69315\quad = \frac{1}{30} \Big[ 1.5 + 13.8381580 + 5.4563492 \Big] = \frac{1}{30} \Big[ 20.7945072 \Big] \approx 0.69315

因为理论精确原函数积分为 log⁡(1+x)∣01=log⁡2\log(1+x)|_0^1 = \log 2。 所以通过辛普森近似求得的 log⁡2≈0.69315\log 2 \approx 0.69315。