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微积分-CH2-极限

整理极限、连续、介值定理、常用标准极限、洛必达法则与泰勒展开求极限。

April 25, 2026 修考 11 min read

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高等数学（上）快速复习笔记：极限与连续篇

核心主线图谱

极限与连续是微积分的基石，复习时可从以下三个维度把握：

  1. 极限基础：解决“能否逼近”，判断极限是否存在（左右极限）。
  2. 连续性：解决“是否接上”，判断函数在某点是否连贯。
  3. 极限计算工具：解决“怎么算出来”，包括等价代换、洛必达法则和泰勒展开。

一、 微积分的核心思想

微积分本质上是由两个动态过程组成的：微分（分）*与*积分（积）。

  • 微分：将复杂、不规则的问题拆解为无限多个微小、可把握的元素。
  • 积分：将微元素积少成多，重新组合解决宏观问题。
  • 核心工具：极限。为了精确描述“无限接近”，必须引入无穷大和无穷小的动态概念。

二、 极限：从“接近”开始

1. 极限的基础概念

  • 定义：当 xx 无限接近 aa 时，f(x)f(x) 无限接近某个常数 AA，则记作 lim⁡x→af(x)=A\lim_{x \to a} f(x)=A。
  • 左右极限：只有当左极限 lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) 和右极限 lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x) 都存在且相等时，双侧极限才存在。
    • 常见陷阱：分段函数、分母含绝对值、以及含 e1/xe^{1/x} 的项（x→0+x \to 0^+ 时为 ∞\infty，x→0−x \to 0^- 时为 00）。

2. 极限运算法则

前提是各部分极限本身必须存在。

  • lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B
  • lim⁡[f(x)⋅g(x)]=A⋅B\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B
  • lim⁡f(x)g(x)=AB(B≠0)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \ne 0)
  • 夹逼定理：若 f(x)≤h(x)≤g(x)f(x) \le h(x) \le g(x) 且 lim⁡f(x)=lim⁡g(x)=A\lim f(x) = \lim g(x) = A，则 lim⁡h(x)=A\lim h(x) = A。常用于处理含振荡项（如 sin⁡1x\sin \frac{1}{x}）的极限。

3. 等价无穷小速查表 (x→0x \to 0 时)

函数等价替换为
sin⁡x,tan⁡x,arcsin⁡x,arctan⁡x,ln⁡(1+x),ex−1\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x, \ln(1+x), e^x-1xx
1−cos⁡x1-\cos x12x2\frac{1}{2}x^2
(1+x)a−1(1+x)^a - 1axax
  • 判定技巧：若函数 f(0)=0f(0)=0 且 f′(0)=kf'(0)=k，则当 x→0x \to 0 时，f(x)∼kxf(x) \sim kx。

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三、 连续：函数有没有“接上”

1. 连续的三个必要条件

函数 f(x)f(x) 在 x=ax=a 处连续需满足：

  1. f(a)f(a) 有定义；
  2. lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 存在；
  3. lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)（极限值等于函数值）。

2. 间断点的分类

类型名称特征例子
第一类可去间断点左右极限相等，但不等于该点函数值sin⁡xx\frac{\sin x}{x} 在 x=0x=0
(极限存在)跳跃间断点左右极限都存在，但不相等分段函数常用定义点
第二类无穷间断点极限值为 ∞\infty1x\frac{1}{x} 在 x=0x=0
(极限不存在)震荡间断点趋近过程中无限摆动sin⁡1x\sin \frac{1}{x} 在 x=0x=0

3. 闭区间连续函数的性质

  • 最值定理：在闭区间 [a,b][a,b] 上必能取得最大值和最小值。
  • 介值定理：若 f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0，则在 (a,b)(a,b) 内至少存在一点 cc 使得 f(c)=0f(c)=0（常用于证明根的存在性）。

四、 极限计算工具箱

1. 洛必达法则 (L’Hopital)

适用于 00\frac{0}{0} 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型。

  • 公式：lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}。
  • 注意：求导前必须确认是未定式；有些题求导后更复杂，建议先用等价无穷小化简。

2. 常见未定式转化思路

  • ∞−∞\infty - \infty：通过通分、乘共轭或提取公因式转成分式。
  • 0⋅∞0 \cdot \infty：将一项移到分母转为 00\frac{0}{0} 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}。
  • 幂指型 (1∞,00,∞01^\infty, 0^0, \infty^0)：
    • 方法一：利用公式 AB=eBln⁡AA^B = e^{B \ln A}，转化为求指数部分的极限。
    • 方法二：凑重要极限 lim⁡x→0(1+x)1/x=e\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e。

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3. 泰勒 (Taylor) 展开

遇到高阶无穷小比较或复杂分式极限时，比洛必达更高效。

  • ex=1+x+x22!+⋯e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots
  • sin⁡x=x−x33!+⋯\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots
  • cos⁡x=1−x22!+⋯\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots
  • ln⁡(1+x)=x−x22+⋯\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots

五、 专题例题详解

1. 泰勒展开应用

求 lim⁡x→0x−arcsin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \arcsin x}{x^3}

  • 解：因为 arcsin⁡x=x+x36+O(x5)\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)
  • 原式 =lim⁡x→0x−(x+x36)x3=−16= \lim_{x \to 0} \frac{x - (x + \frac{x^3}{6})}{x^3} = - \frac{1}{6}。

2. 洛必达求幂指极限

求 lim⁡x→0+xx\lim_{x \to 0^+} x^x

  • 解：令 y=xxy = x^x，则 ln⁡y=xln⁡x=ln⁡x1/x\ln y = x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}（为 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型）。
  • 利用洛必达：lim⁡ln⁡x1/x=lim⁡1/x−1/x2=lim⁡(−x)=0\lim \frac{\ln x}{1/x} = \lim \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim (-x) = 0。
  • 还原：lim⁡xx=e0=1\lim x^x = e^0 = 1。

六、 复习提醒与做题 SOP

  1. 求极限标准流程 (SOP)：

    有根号情况优先有理化

    • 先代入：如果有确定值，直接出答案。
    • 再分类：识别是 00,∞∞,∞−∞\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty 还是幂指型。

    只有 0/00/0 ∞∞\infty\infty,1∞1^{\infty} 这三种题型

    • 选工具：化简 →\to 等价代换 →\to 抓大头 →\to 洛必达/泰勒。

  2. 无穷大问题：“抓大头”：

    • 增长速度：ln⁡x≪xa≪cx≪x!≪xx(x→∞)\ln x \ll x^a \ll c^x \ll x! \ll x^x \quad (x \to \infty)。
    • 加减法中只保留最高阶主项。

  3. 四则运算禁忌：

    • 严禁在加减法的某一项中单独先求极限。只有整体是乘除关系时，极限存在的部分才能先带入。

复习总结：极限解决“能否逼近”，连续解决“是否接上”，所有技巧的核心都是为了把复杂的趋近过程转化为可算的代数形式。

无穷小相关

  1. 化简：
    1. 有根看能不能因式分解
    2. 无根看能不能分式有理化
  2. 等价无穷下
  3. 泰勒展开
  4. 洛必达

无穷大相关

  1. 抓大头
  2. 洛必达

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∞−∞\infty - \infty 型极限题

针对这道典型的 ∞−∞\infty - \infty 型极限题，我们将采用通分配合泰勒展开（或等价无穷小代换）的方法来解决。

题目

求极限：lim⁡x→0(1sin⁡2x−1x2)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right)

解题步骤

第一步：通分 首先将两个分式合并为一个分式：

lim⁡x→0x2−sin⁡2xx2sin⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}

第二步：分母等价无穷小代换 在 x→0x \to 0 时，我们知道 sin⁡x∼x\sin x \sim x，因此分母中的 sin⁡2x\sin^2 x 可以替换为 x2x^2 以简化计算：

lim⁡x→0x2−sin⁡2xx4\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^4}

第三步：分子处理（泰勒展开法） 这是解决本题最稳妥的方法。我们将 sin⁡x\sin x 展开到 x3x^3 项：

sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

那么 sin⁡2x\sin^2 x 展开为：

sin⁡2x=(x−x36+o(x3))2=x2−x43+o(x4)\sin^2 x = \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)

将展开式代入分子：

x2−sin⁡2x=x2−(x2−x43+o(x4))=x43+o(x4)x^2 - \sin^2 x = x^2 - \left( x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4) \right) = \frac{x^4}{3} + o(x^4)

第四步：求得最终结果 将简化的分子代入极限式中：

lim⁡x→013x4x4=13\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^4}{x^4} = \frac{1}{3}

核心技巧小结

  • 识别类型：看到 ∞−∞\infty - \infty 且为分式形式，第一步永远是通分。
  • 瘦身原则：分母是乘积形式，优先使用等价无穷小代换（sin⁡2x→x2\sin^2 x \to x^2）来简化分母。
  • 避坑指南：加减法中不能直接使用等价无穷小（即分子不能直接看作 x2−x2=0x^2 - x^2 = 0），必须使用泰勒展开保留更高阶的余项，才能看到“隐藏”的非零部分。

答案： 13\frac{1}{3}

1∞1^\infin 型问题

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