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  • https://tingwu.aliyun.com/doc/transcripts/47z39vp3jv8e9edg?sl=1# 《10 - 柯西积分公式》

第10讲：柯西积分公式与高阶导数公式

导言：从柯西-古萨定理到柯西积分公式（起承转合）

在上一节课中，我们学习了柯西-古萨定理（Cauchy-Goursat Theorem）：若函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则其沿 $D$ 内任意一条闭曲线 $C$ 的积分均为 $0$，即：

$\oint_{C} f(z) dz = 0$

然而，在实际问题中，积分路径 $C$ 的内部往往会包含不解析的点（奇点）。如果被积函数在积分路径内部有奇点，我们该如何计算积分？

• 复合闭路定理告诉我们：可以通过“挖洞”的方式，将外边界的积分转化为环绕各个奇点的内边界积分之和。

• 柯西积分公式（Cauchy’s Integral Formula） 则更进一步，它提供了一种极其优雅的工具——直接利用奇点处的函数值（或导数值）来计算整个闭路积分。这揭示了解析函数一个惊人的 Rigidity（硬度）特征：解析函数在边界上的值完全决定了它在内部的值。

一、 柯西积分公式 (Cauchy’s Integral Formula)

1.1 定理内容

设 $D$ 是单连通区域， $C$ 为 $D$ 内的一条正向（逆时针）简单闭曲线。若函数 $f(z)$ 在 $C$ 所围成的区域内及边界 $C$ 上解析， $z_0$ 是 $C$ 内部的任意一点，则有：

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} dz$

1.2 实际解题变形（核心公式）

在做题计算积分时，我们通常将公式变形为求积分的形式：

$\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i \cdot f(z_0)$

⚠️ 核心应用条件（重要）

1. 分母必须是一次项形式 $(z - z_0)$。

2. 奇点 $z_0$ 必须在闭曲线 $C$ 的内部。若 $z_0$ 在 $C$ 的外部，则被积函数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 在 $C$ 内部及边界上完全解析，根据柯西-古萨定理，积分直接为 $0$。

3. 分子部分 $f(z)$ 必须在 $C$ 及其内部完全解析。

1.3 典型例题

【例1】

计算积分：

$\oint_{C} \frac{e^z}{z - 2} dz$

其中积分路径 $C: |z - 2| = 1$。

【解析】

1. 画出区域与奇点定位：积分路径是以 $2$ 为圆心， $1$ 为半径的圆。分母的零点（奇点）为 $z_0 = 2$，该点恰好位于圆心，即在路径 $C$ 的内部。

2. 确定分子函数：分子为 $f(z) = e^z$，它在复平面上处处解析（是有整函数），显然在 $C$ 及其内部解析。

3. 套用公式：

   $\oint_{C} \frac{e^z}{z - 2} dz = 2\pi i \cdot f(2) = 2\pi i \cdot e^2$

二、 高阶导数公式 (High-Order Derivative Formula)

2.1 引入动机

如果分母不是一次项，而是高次项（形如 $(z-z_0)^n$），柯西积分公式就无法直接使用。为此，我们对柯西积分公式两边关于 $z_0$ 连续求导，便得到了高阶导数公式（也称高阶求导公式）。

2.2 定理内容

若 $f(z)$ 在自身及正向闭曲线 $C$ 所围成的区域内解析，$z_0$ 在 $C$ 内部，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处具有各阶导数，且：

$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$

2.3 实际解题变形（核心公式）

同样地，在求积分时，我们套用以下变形：

$\oint_{C} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} \cdot f^{(n)}(z_0)$

💡 避坑 SOP 总结：先求导，后代值！

计算 $f^{(n)}(z_0)$ 时，必须先对自变量 $z$ 求 $n$ 阶导数得到导函数 $f^{(n)}(z)$，然后再将 $z = z_0$ 代入计算值。 绝对不能 先把 $z_0$ 代入 $f(z)$ 变成常数再求导（常数求导恒为 $0$，此乃经典零分大坑）。

2.4 典型例题

【例2】

计算积分：

$\oint_{C} \frac{\cos \pi z}{(z - 1)^5} dz$

其中积分路径 $C: |z| = r \quad (r > 1)$。

【解析】

1. 奇点定位：奇点为 $z_0 = 1$。因为 $r > 1$，所以奇点 $z_0 = 1$ 在积分圆 $C$ 的内部。

2. 公式参数对应：

   • 分子 $f(z) = \cos \pi z$（在全平面解析）。

   • 分母指数为 $5$，对照公式中分母的 $n+1 = 5 \implies n = 4$（说明需要求 4 阶导数）。

3. 求导计算（在草稿纸上稳步计算）：

   • 一阶导数：$f'(z) = -\pi \sin \pi z$

   • 二阶导数：$f''(z) = -\pi^2 \cos \pi z$

   • 三阶导数：$f'''(z) = \pi^3 \sin \pi z$

   • 四阶导数：$f^{(4)}(z) = \pi^4 \cos \pi z$

4. 代入奇点 $z_0 = 1$：

   $f^{(4)}(1) = \pi^4 \cos(\pi) = -\pi^4$

5. 套入积分公式：

   $\oint_{C} \frac{\cos \pi z}{(z - 1)^5} dz = \frac{2\pi i}{4!} \cdot f^{(4)}(1) = \frac{2\pi i}{24} \cdot (-\pi^4) = -\frac{\pi^5}{12} i$

🌟 课后思考延伸题：若 $r < 1$ 结果如何？

若 $r < 1$，奇点 $z_0 = 1$ 跑到了闭曲线 $C$ 的外部。此时被积函数整个在 $C$ 及其内部解析。根据柯西-古萨定理，积分值直接为 $0$。

【例3】

计算积分：

$\oint_{C} \frac{\sin z}{(z - \frac{\pi}{2})^2} dz$

其中积分路径 $C: |z| = 2$。

【解析】

1. 奇点定位：奇点为 $z_0 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$。由于半径为 $2$，该奇点在 $C$ 的内部。

2. 公式参数对应：

   • 分子 $f(z) = \sin z$。

   • 分母指数为 $2$，对照 $n+1 = 2 \implies n = 1$（一阶导数）。

3. 求导并代值：

   • $f'(z) = \cos z$

   • 代入 $z_0 = \frac{\pi}{2}$：$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

4. 套入公式：

   $\oint_{C} \frac{\sin z}{(z - \frac{\pi}{2})^2} dz = \frac{2\pi i}{1!} \cdot f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi i \cdot 0 = 0$

三、 高级应用技巧：多奇点及复杂分母处理（起承转合）

在期末考试中，很少会直接考查一步套公式的送分题。当分母包含多个因式、或在路径内存在多个奇点时，我们需要采用以下两大黄金技巧。

技巧 A：奇点化入分子法（构造辅助函数法）

适用场景：分母有多个不同因式，但只有一个奇点落在积分路径 $C$ 的内部，其余奇点均在外部。 核心思想：既然外部奇点对应的因式在 $C$ 内部是解析的，我们就可以把不解析的“坏部分”留在分母，而把所有解析的“好部分”打包挪到分子中，作为新的辅助函数 $F(z)$。

技巧 B：复合闭路定理拼合法（路径拆分法）

适用场景：积分路径 $C$ 内部同时包含多个奇点。 核心思想：

1. 用互不相交的小圆 $C_1, C_2, \cdots, C_k$ 分别将各奇点隔离包围起来。

2. 运用复合闭路定理，将原路径的积分化为各个小圆积分之和：

   $\oint_{C} g(z) dz = \oint_{C_1} g(z) dz + \oint_{C_2} g(z) dz + \cdots$

3. 对每个小圆积分，运用技巧 A（奇点化入分子法）分别求解。

3.1 经典连环综合大题

【例4】

计算积分：

$I = \oint_{C} \frac{\cos z}{z(z - 1)^2} dz$

分别针对以下三种不同的积分路径 $C$ 进行求解。

【奇点分布图示】
       y轴
        |
    * |   *
  (z=0) | (z=1) 
--------+--------> x轴
        |
        |

路径（1）：$C: |z| = \frac{1}{2}$

【解析】

1. 分析奇点：分母有两个零点：$z = 0$（一次）和 $z = 1$（二次）。

2. 判断位置：

   • 奇点 $z = 0$ 在圆 $C: |z| = \frac{1}{2}$ 的内部。

   • 奇点 $z = 1$ 在圆 $C: |z| = \frac{1}{2}$ 的外部。

3. 技巧 A（奇点化入分子）： 因为 $z=1$ 在外部，所以 $\frac{\cos z}{(z-1)^2}$ 在该圆内部是完全解析的。我们把它整体看作新的分子函数 $F(z)$：

   $F(z) = \frac{\cos z}{(z - 1)^2}$

   此时，原积分式可重写为标准的柯西积分格式：

   $I_1 = \oint_{C} \frac{F(z)}{z - 0} dz$

4. 套用柯西积分公式 ($z_0 = 0$)：

   $I_1 = 2\pi i \cdot F(0) = 2\pi i \cdot \frac{\cos 0}{(0 - 1)^2} = 2\pi i \cdot \frac{1}{1} = 2\pi i$

路径（2）：$C: |z - 1| = \frac{1}{2}$

【解析】

1. 判断位置：

   • 奇点 $z = 0$ 在该圆的外部。

   • 奇点 $z = 1$ 在该圆的内部。

2. 技巧 A（奇点化入分子）： 因为 $z=0$ 在外部，把包含 $z=0$ 的部分全部打包进分子，构造辅助函数 $F(z)$：

   $F(z) = \frac{\cos z}{z}$

   由于分母是 $(z-1)^2$（二次），我们需要使用高阶导数公式 ($n+1=2 \implies n=1$)：

   $I_2 = \oint_{C} \frac{F(z)}{(z - 1)^2} dz = \frac{2\pi i}{1!} \cdot F'(1)$

3. 求导并计算：

   • 对辅助函数求导：

     $F'(z) = \left( \frac{\cos z}{z} \right)' = \frac{(-\sin z) \cdot z - \cos z \cdot 1}{z^2} = -\frac{z\sin z + \cos z}{z^2}$

   • 将 $z_0 = 1$ 代入：

     $F'(1) = -\frac{\sin 1 + \cos 1}{1^2} = -(\sin 1 + \cos 1)$

4. 得出结果：

   $I_2 = 2\pi i \cdot F'(1) = -2\pi i(\sin 1 + \cos 1)$

路径（3）：$C: |z| = 2$

【解析】

1. 判断位置：此时，两个奇点 $z = 0$ 和 $z = 1$ 都在积分曲线的内部！我们无法直接把任何一个因式塞进分子。

2. 技巧 B（复合闭路定理拆分）： 我们在 $z = 0$ 和 $z = 1$ 处分别作两个足够小的逆时针圆周 $C_1: |z| = \frac{1}{2}$ 和 $C_2: |z - 1| = \frac{1}{2}$。由复合闭路定理：

   $I_3 = \oint_{C} \frac{\cos z}{z(z-1)^2} dz = \oint_{C_1} \frac{\cos z}{z(z-1)^2} dz + \oint_{C_2} \frac{\cos z}{z(z-1)^2} dz$

3. 结合前两问结果： 观察发现，在 $C_1$ 上的积分就是路径 (1) 的解 $I_1$；在 $C_2$ 上的积分就是路径 (2) 的解 $I_2$。

   $I_3 = I_1 + I_2 = 2\pi i - 2\pi i(\sin 1 + \cos 1) = 2\pi i(1 - \sin 1 - \cos 1)$

【例5】

计算积分：

$I = \oint_{C} \frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} dz$

其中积分路径 $C: |z| = \frac{3}{2}$。

【解析】

1. 因式分解找齐所有奇点： 将分母拆解为一次因式的乘积：

   $(z^2 + 1)(z^2 + 4) = (z - i)(z + i)(z - 2i)(z + 2i)$

   所以一共有 4 个孤立奇点：$z = \pm i$ 和 $z = \pm 2i$。

2. 奇点定位筛选： 积分路径半径为 $r = \frac{3}{2} = 1.5$。

   • $z = \pm i$ 的模长为 $1 < 1.5$，在 $C$ 的内部。

   • $z = \pm 2i$ 的模长为 $2 > 1.5$，在 $C$ 的外部。

  y轴
   |   * z = 2i (外部)
   |
 --*---+---*--  y = 1.5 边界
   |   * z = i  (内部)
---+----------- x轴
   |   * z = -i (内部)
 --*---+---*--  y = -1.5 边界
   |
   |   * z = -2i(外部)

3. 路径拆分（复合闭路定理）： 在内部的两个奇点 $z = i$ 和 $z = -i$ 周围分别作微小圆 $C_1$ 和 $C_2$（例如半径为 $\frac{1}{3}$）。 原积分写为：

   $I = \oint_{C_1} \frac{1}{(z^2+1)(z^2+4)} dz + \oint_{C_2} \frac{1}{(z^2+1)(z^2+4)} dz$

4. 对 $C_1$ 积分进行“奇点化入分子”（包围 $z=i$）： 将除 $z-i$ 以外的部分都挪到分子去，构造 $F_1(z) = \frac{1}{(z + i)(z^2 + 4)}$：

   $\oint_{C_1} \frac{F_1(z)}{z - i} dz = 2\pi i \cdot F_1(i) = 2\pi i \cdot \frac{1}{(i + i)(i^2 + 4)} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i \cdot 3} = \frac{\pi}{3}$

5. 对 $C_2$ 积分进行“奇点化入分子”（包围 $z=-i$）： 构造 $F_2(z) = \frac{1}{(z - i)(z^2 + 4)}$：

   $\oint_{C_2} \frac{F_2(z)}{z + i} dz = 2\pi i \cdot F_2(-i) = 2\pi i \cdot \frac{1}{(-i - i)((-i)^2 + 4)} = 2\pi i \cdot \frac{1}{-2i \cdot 3} = -\frac{\pi}{3}$

6. 相加合并结果：

   $I = \frac{\pi}{3} + \left( -\frac{\pi}{3} \right) = 0$

四、 复变函数求积分方法大统一 SOP 决策树

到目前为止，我们已经学完了第三章所有关于复变函数积分的核心方法。在期末考试中拿到一道积分题，你应该按照以下 SOP 步骤进行决策：

顺序	方法名称	核心适用特征	典型公式 / 结论
Step 1	复变函数-CH31-柯西古萨定理	被积函数在路径 $C$ 及其内部无奇点（处处解析）	$\oint_{C} f(z)dz = 0$
Step 2	参数方程法复变函数-CH30-复变函数的积分	积分路径 $C$ 不是闭曲线（比如一条直线段或抛物线弧）	$\int_{a}^{b} f(z(t))z'(t)dt$
Step 3	柯西积分公式	积分路径为闭曲线，内部仅含一个一阶奇点 $z_0$	$\oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = 2\pi i f(z_0)$
Step 4	高阶导数公式	积分路径为闭曲线，内部仅含一个高阶奇点 $(z-z_0)^{n+1}$	$\oint_{C} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)$
Step 5	复变函数-CH32-复合闭路定理	积分路径内同时含有多个奇点	拆分成多个小圆积分之和，再分别使用 Step 3 或 4

💡 总结寄语： 掌握了这一套“寻找奇点 $\rightarrow$ 判断与路径的位置关系 $\rightarrow$ 奇点化入分子或拆分路径 $\rightarrow$ 套用公式（先求导后代值）”的系统化流程，第三章的积分题目基本就能全部迎刃而解了！