第四讲 解析函数_哔哩哔哩_bilibili

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《复变函数与积分变换》复习笔记：解析函数与导数

本章是复变函数的核心基础。我们将从熟悉的实变函数导数出发，逐步引入复平面上的导数与解析性，并深入探讨判定解析性的终极武器——柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)。

1. 复变函数的导数与微分

1.1 导数的定义

在实变函数中，我们研究自变量沿着一维实数轴的变化。而在复平面上，自变量 $z$ 可以从任意方向趋近于 $z_0$。

定义： 设 $w = f(z)$ 在区域 $D$ 内有定义，$z_0 \in D$。若极限

$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$

存在，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导。此极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数，记作 $f'(z_0)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\right|_{z=z_0}$。

注意： $\Delta z \to 0$ 是指在复平面上以任意方向趋近于 $0$。这是一个极强的约束，也是复变函数拥有许多优美性质的源泉。

1.2 求导法则

复变函数的求导法则与实变函数完全一模一样。 设 $f(z)$ 和 $g(z)$ 可导，则：

• 线性性质： $[f(z) \pm g(z)]' = f'(z) \pm g'(z)$
• 乘法法则： $[f(z)g(z)]' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)$
• 商法则： $\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]' = \frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{[g(z)]^2} \quad (g(z) \neq 0)$
• 复合函数求导（链式法则）： 若 $w = f(\eta)$ 且 $\eta = g(z)$，则 $\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z} = f'(g(z))g'(z)$

【新增：基础求导例题】

例题： 求 $f(z) = z^n$ ($n \in \mathbb{N}^+$) 的导数。

解： 利用二项式定理展开：

$(z + \Delta z)^n = z^n + n z^{n-1} \Delta z + \frac{n(n-1)}{2} z^{n-2} (\Delta z)^2 + \cdots + (\Delta z)^n$

代入导数定义：

$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{(z + \Delta z)^n - z^n}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \left[ n z^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} z^{n-2} \Delta z + \cdots + (\Delta z)^{n-1} \right] = n z^{n-1}$

因此，与实函数一样，$(z^n)' = n z^{n-1}$。

2. 解析函数的概念与性质

2.1 解析函数的定义

“可导”仅仅是对单个点而言的，而在复变函数中，我们更关心在一片区域上的优良性质，这就是解析性。

定义：

1. 点解析： 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 及其某个邻域 $U(z_0)$ 内处处可导，则称 $f(z)$ 在点 $z_0$ 解析。
2. 区域解析： 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，则称 $f(z)$ 是区域 $D$ 内的解析函数。

2.2 可导与解析的关系

复变函数中，这三个概念的强弱关系非常关键，常作为考研或期末的选择填空题：

$\text{在点 } z_0 \text{ 处：解析} \implies \text{可导} \implies \text{连续}$

• 解析 $\implies$ 可导：这是显然的（解析要求邻域内处处可导，自然在中心点可导）。
• 可导 $\not\implies$ 解析：若函数仅在孤立的点 $z_0$ 可导，而在其任何去心邻域内都有不可导的点，则函数在 $z_0$ 处不可解析。
• 连续 $\not\implies$ 可导：这与实函数一致。

2.3 经典例题：连续但处处不可导

例题： 证明 $f(z) = \bar{z}$（共轭复数）在复平面上处处连续，但处处不可导。

证明：

1. 连续性： 设 $z = x + iy$，则 $f(z) = x - iy$。由于实部 $u(x,y)=x$ 和虚部 $v(x,y)=-y$ 在全平面连续，故 $f(z)$ 在全平面连续。

2. 不可导性（利用导数定义分析）： 设 $\Delta z = \Delta x + i \Delta y$。按定义写出变化率的极限：

   $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{z + \Delta z} - \bar{z}}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\bar{z} + \overline{\Delta z} - \bar{z}}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$

   代入 $\Delta z = \Delta x + i \Delta y$：

   $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta x - i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y}$

   我们从两个不同的方向趋近于 $0$：

   • 沿实轴趋近（即 $\Delta y = 0, \Delta x \to 0$）：

     $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x - i \cdot 0}{\Delta x + i \cdot 0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

   • 沿虚轴趋近（即 $\Delta x = 0, \Delta y \to 0$）：

     $\lim_{\Delta y \to 0} \frac{0 - i \Delta y}{0 + i \Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{-i \Delta y}{i \Delta y} = -1$

     因为沿两个不同方向得到的极限值不相等 ($1 \neq -1$)，所以极限不存在。 结论： $f(z) = \bar{z}$ 在复平面上处处不可导，当然也处处不解析。

3. 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann)

每一次都用定义去判断可导和解析实在太麻烦了。为此，我们引入解析函数判定的充要条件——柯西-黎曼方程 (简称 C-R 方程)。

3.1 导数计算公式的推导与证明

设复变函数可写为实部和虚部的形式：

$f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$

若 $f(z)$ 在 $z = x+iy$ 处可导，意味着不论 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$ 以何种方式趋近于 $0$，商式的极限都存在且相等。

证明过程：

方式一：平行于实轴（沿水平方向）趋近，即 $\Delta y = 0, \Delta z = \Delta x \to 0$

$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x+\Delta x, y) + i v(x+\Delta x, y)] - [u(x,y) + i v(x,y)]}{\Delta x}$

$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x, y) - u(x,y)}{\Delta x} + i \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x, y) - v(x,y)}{\Delta x}$

根据偏导数的定义，上式即为：

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$

方式二：平行于虚轴（沿竖直方向）趋近，即 $\Delta x = 0, \Delta z = i\Delta y \to 0$

$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{[u(x, y+\Delta y) + i v(x, y+\Delta y)] - [u(x,y) + i v(x,y)]}{i\Delta y}$

注意 $\frac{1}{i} = -i$，所以：

$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0} \left[ \frac{u(x, y+\Delta y) - u(x,y)}{i\Delta y} + i \frac{v(x, y+\Delta y) - v(x,y)}{i\Delta y} \right]$

$f'(z) = -i \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}$

由于 $f(z)$ 可导，上述两种方式得到的导数值必须相等：

$\frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}$

比较实部与虚部，便得到了大名鼎鼎的 柯西-黎曼方程 (C-R 方程)：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \text{且} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

同时，我们也得到了导数的四种等价计算公式：

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} - i \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} + i \frac{\partial v}{\partial x}$

3.2 解析性的判定定理 (重点考点)

如何用 C-R 方程判定一个函数在某点或区域内是否解析？

必要条件定理：

若 $f(z) = u + iv$ 在区域 $D$ 内可导（或解析），则在 $D$ 内 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 的偏导数必存在，且满足 C-R 方程。

充分条件定理（用于实际判定）：

若二元函数 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 满足以下两个条件：

1. 在区域 $D$ 内一阶偏导数连续（即 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 可微）；

2. 满足 C-R 方程：

   $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$

   我的理解是

   1. 条件：在该点$Z_0$处可导
   2. 在邻域，可以认为是一个圆内，各个方向过来的，都是可导的。

则 $f(z) = u + iv$ 在区域 $D$ 内处处可导（即在 $D$ 内解析）。

SOP (标准作业程序)：

1. 写出实部 $u(x,y)$ 与虚部 $v(x,y)$。
2. 求出四个偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$, $\frac{\partial v}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial y}$。
3. 列出 C-R 方程组，求解使得方程组成立的点集。
4. 判断解析性： 只有在某点的邻域内全部满足 C-R 方程，函数在该点才解析。若只是孤立点/孤立曲线满足，则仅可导，不解析。

4. 典型例题精析

例题一：判断可导性与解析性

题目： 求 $f(z) = 2xy^2 + i x^2y$ 在何处可导？何处解析？

解：

1. 确定实部与虚部：

   $u(x, y) = 2xy^2, \qquad v(x, y) = x^2y$

   由于 $u, v$ 是多项式，它们在整个复平面上都有一阶连续偏导数。

2. 计算偏导数：

   $\frac{\partial u}{\partial x} = 2y^2, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = 4xy$

   $\frac{\partial v}{\partial x} = 2xy, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = x^2$

3. 代入 C-R 方程组：

   $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 2y^2 = x^2 \quad \text{--- (1)} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies 4xy = -2xy \quad \text{--- (2)} \end{cases}$

4. 求解方程组： 由方程 (2) 得：

   $6xy = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } y = 0$

   • 若 $x = 0$，代入 (1) 得：$2y^2 = 0 \implies y = 0$。
   • 若 $y = 0$，代入 (1) 得：$x^2 = 0 \implies x = 0$。

   所以，C-R 方程仅在点 $(0,0)$ 处成立。

5. 结论：

   • $f(z)$ 仅在 $z = 0$ 处可导；
   • 因为在 $z=0$ 的任何邻域内都存在不满足 C-R 方程的点，所以 $f(z)$ 在整个复平面上处处不解析。

例题二：曲线可导与不解析的典型

题目： 求 $f(z) = 2x^3 + i 3y^3$ 在何处可导？何处解析？

解：

1. 实部与虚部：

   $u(x, y) = 2x^3, \qquad v(x, y) = 3y^3$

2. 计算偏导数：

   $\frac{\partial u}{\partial x} = 6x^2, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

   $\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = 9y^2$

3. 代入 C-R 方程组：

   $\begin{cases} 6x^2 = 9y^2 \implies 2x^2 = 3y^2 \implies \sqrt{2}x = \pm \sqrt{3}y \\ 0 = -0 \quad (\text{恒成立}) \end{cases}$

4. 求解方程组： 满足条件的点在两条直线上：

   $\sqrt{2}x \pm \sqrt{3}y = 0$

5. 结论：

   • $f(z)$ 在两条直线 $\sqrt{2}x \pm \sqrt{3}y = 0$ 上可导；
   • 因为直线上任何点的任何邻域内都包含不在直线上的点（不满足 C-R 方程），所以 $f(z)$ 在整个复平面上处处不解析。

例题三：待定系数求解析函数 (高频考题 $\bigstar$)

题目： 已知函数 $f(z) = (my^3 + nx^2y) + i(lx^3 - 3xy^2)$ 在整个复平面内解析，求常数 $m, n, l$ 的值。

解：

1. 明确已知条件： 函数在全平面解析 $\implies$ 全平面处处满足 C-R 方程。

2. 提取实部和虚部：

   $u(x, y) = my^3 + nx^2y$

   $v(x, y) = lx^3 - 3xy^2$

3. 计算偏导数：

   $\frac{\partial u}{\partial x} = 2nxy, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = 3my^2 + nx^2$

   $\frac{\partial v}{\partial x} = 3lx^2 - 3y^2, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = -6xy$

4. 利用 C-R 方程建立待定系数方程：

   • 条件一：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

     $2nxy = -6xy \implies 2n = -6 \implies n = -3$

   • 条件二：$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

     $3my^2 + nx^2 = -(3lx^2 - 3y^2) = -3lx^2 + 3y^2$

     对比等式两边 $x^2$ 和 $y^2$ 项的系数：

     $\begin{cases} y^2\text{ 项系数：} 3m = 3 \implies m = 1 \\ x^2\text{ 项系数：} n = -3l \end{cases}$

     将 $n = -3$ 代入 $n = -3l$：

     $-3 = -3l \implies l = 1$

5. 结论： 当且仅当 $m=1, n=-3, l=1$ 时，该函数在全平面解析。

5. 补充：复偏导数与必要条件 (进阶视角)

在手写笔记的最后，提到了解析函数的另一个必要条件，我们可以用更现代、更高级的复偏导数（也称作 Wirtinger 导数）来理解它。

定义自变量 $z = x+iy$ 及其共轭 $\bar{z} = x-iy$。我们可以把 $f(z)$ 视作 $z$ 和 $\bar{z}$ 的函数：

$\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right)$

将 $f = u+iv$ 代入对 $\bar{z}$ 的偏导数中：

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) (u + iv) = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right) + i \left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) \right]$

如果 $f(z)$ 满足 C-R 方程：

$\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \qquad \text{且} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

我们会惊喜地发现：

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$

物理/几何意义： > 一个复变函数解析的本质，就是它的表达式中不能显式地含有共轭变量 $\bar{z}$。函数必须是“纯粹”关于 $z$ 的函数。这就是为什么像 $f(z) = \bar{z}$， $f(z) = |z|^2 = z\bar{z}$ 这类含有 $\bar{z}$ 的函数在非零处均无法解析的底层原因。