Mika Field Notes

Article

复变函数-CH00-双曲函数（补充内容1）

复变函数-CH00-双曲函数（补充内容1），待补充摘要。

June 14, 2026 修考 13 min read

双曲函数、三角函数与复变函数全面学习笔记

本笔记旨在系统地整理双曲函数的定义、其与标准三角函数的深层联系，以及它们在复变函数分析中的核心应用与公式推导。

[!NOTE] Title 双曲函数可以看成把三角函数的自变量换成虚数后的结果。它们之间并不是毫无关系，而是通过复数紧密联系在一起。

一、 双曲函数的定义与几何意义

1. 核心定义

双曲函数（Hyperbolic Functions）是基于指数函数 exe^x 定义的一类特殊函数。其最基本的两个函数是双曲正弦（sinh⁡\sinh）和双曲余弦（cosh⁡\cosh）：

  • 双曲正弦 (Hyperbolic Sine):

    sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

  • 双曲余弦 (Hyperbolic Cosine):

    cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

在此基础上，我们可以定义其他四个辅助双曲函数：

  • 双曲正切 (Hyperbolic Tangent):

    tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

  • 双曲余切 (Hyperbolic Cotangent): (其中 x≠0x \neq 0)

    coth⁡x=cosh⁡xsinh⁡x=ex+e−xex−e−x\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}

  • 双曲正割 (Hyperbolic Secant):

    sech x=1cosh⁡x=2ex+e−x\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}

  • 双曲余割 (Hyperbolic Cosecant): (其中 x≠0x \neq 0)

    csch x=1sinh⁡x=2ex−e−x\text{csch } x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}

2. 几何意义：圆与双曲线的对偶性

普通三角函数与单位圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 密切相关；而双曲函数则与等轴双曲线 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 密切相关。

特征三角函数 (圆函数)双曲函数
关联曲线单位圆: x2+y2=1x^2 + y^2 = 1等轴双曲线右支: x2−y2=1(x≥1)x^2 - y^2 = 1 \quad (x \ge 1)
参数方程x=cos⁡θ,y=sin⁡θx = \cos \theta, \quad y = \sin \thetax=cosh⁡u,y=sinh⁡ux = \cosh u, \quad y = \sinh u
几何参数弧度 θ\theta 对应有向扇形面积的 22 倍。参数 uu 对应双曲扇形面积的 22 倍。

注：若一个由原点、双曲线上的点 (cosh⁡u,sinh⁡u)(\cosh u, \sinh u) 以及 xx 轴包围的双曲扇形面积为 AA，则该点的参数 u=2Au = 2A。

3. 双曲函数的基本恒等式

双曲函数拥有与普通三角函数极其相似的恒等式系统（符号上往往有微妙的差异）：

  • 平方差恒等式 (基本关系):

    cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

    (推导：(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=(e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)4=44=1\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^{2x}+2+e^{-2x}) - (e^{2x}-2+e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1)

  • 商数恒等式:

    1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$$$$\coth^2 x - 1 = \text{csch}^2 x

  • 和差公式:

    \sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$$$$\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y

    (注意：cosh⁡\cosh 的和公式中，中间的符号为 ++，这与余弦公式 cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y 的 −- 号不同。)

  • 倍角公式:

    \sinh(2x) = 2 \sinh x \cosh x$$$$\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 1 + 2\sinh^2 x

4. 微积分性质

双曲函数的导数和积分不产生多余的负号（除了余割、正割系列），这使它们在解决物理学波动方程、悬链线问题中非常方便：

  • 导数公式:

    \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$$$$\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x$$$$\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x

二、 双曲函数与三角函数的深层关系

通过复数域中的虚数单位 ii（满足 i2=−1i^2 = -1），双曲函数与普通三角函数可以完美地合二为一。

1. 欧拉公式（Euler’s Formula）

一切连接的桥梁是欧拉公式：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

若将 θ\theta 替换为 −θ-\theta：

e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θe^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta

由此我们可以将正弦和余弦函数用复指数表示：

\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$$$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

2. 虚数参数的相互转换 (旋转关系)

对比双曲函数与三角函数的指数定义，我们可以直接得出以下重要关系式：

(1) 正弦与双曲正弦

在 sinh⁡x\sinh x 的定义中带入 x=iθx = i\theta：

sinh⁡(iθ)=eiθ−e−iθ2=i(eiθ−e−iθ2i)=isin⁡θ\sinh(i\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2} = i \left( \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \right) = i \sin \theta

反之，在 sin⁡θ\sin \theta 的定义中带入 θ=ix\theta = ix：

sin⁡(ix)=e−x−ex2i=−(ex−e−x)2i=−1isinh⁡x=isinh⁡x\sin(ix) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2i} = \frac{-(e^x - e^{-x})}{2i} = -\frac{1}{i} \sinh x = i \sinh x

(2) 余弦与双曲余弦

在 cosh⁡x\cosh x 的定义中带入 x=iθx = i\theta：

cosh⁡(iθ)=eiθ+e−iθ2=cos⁡θ\cosh(i\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \cos \theta

反之，在 cos⁡θ\cos \theta 的定义中带入 θ=ix\theta = ix：

cos⁡(ix)=e−x+ex2=cosh⁡x\cos(ix) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x

(3) 正切与双曲正切

\tanh(i\theta) = \frac{\sinh(i\theta)}{\cosh(i\theta)} = \frac{i \sin \theta}{\cos \theta} = i \tan \theta$$$$\tan(ix) = \frac{\sin(ix)}{\cos(ix)} = \frac{i \sinh x}{\cosh x} = i \tanh x

总结转换表：

sin⁡(ix)=isinh⁡xsinh⁡(ix)=isin⁡xcos⁡(ix)=cosh⁡xcosh⁡(ix)=cos⁡xtan⁡(ix)=itanh⁡xtanh⁡(ix)=itan⁡x\begin{aligned} \sin(ix) &= i \sinh x & \sinh(ix) &= i \sin x \\ \cos(ix) &= \cosh x & \cosh(ix) &= \cos x \\ \tan(ix) &= i \tanh x & \tanh(ix) &= i \tan x \end{aligned}

奥斯本规则 (Osborne’s Rule): 任何三角恒等式都可以转换为对应的双曲恒等式。方法是：将三角函数直接替换为相应的双曲函数，但如果两正弦函数相乘（或隐含有两正弦相乘，如 tan⁡2x\tan^2 x 或 sin⁡2x\sin^2 x），则需要改变该项的符号。

  • 示例：cos⁡2x+sin⁡2x=1  ⟹  cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \implies \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1（sin⁡2x\sin^2 x 变号为 −sinh⁡2x-\sinh^2 x）。

三、 双曲函数在复变函数中的使用

在复变函数理论中，自变量从实数 xx 扩展到了复数 z=x+iyz = x + iy（其中 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}）。双曲函数和三角函数在复数域中被统一并广泛应用。

1. 复三角函数的实部与虚部展开

利用上述旋转关系，我们可以轻松将复自变量的余弦和正弦函数拆分为实部和虚部。这在计算复变函数的积分、解析性以及绘制映射图像时至关重要。

(1) sin⁡z\sin z 的展开

令 z=x+iyz = x + iy：

sin⁡z=sin⁡(x+iy)=sin⁡xcos⁡(iy)+cos⁡xsin⁡(iy)=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡y\begin{aligned} \sin z &= \sin(x + iy) \\ &= \sin x \cos(iy) + \cos x \sin(iy) \\ &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y \end{aligned}

因此：

Re(sin⁡z)=sin⁡xcosh⁡y,Im(sin⁡z)=cos⁡xsinh⁡y\text{Re}(\sin z) = \sin x \cosh y, \quad \text{Im}(\sin z) = \cos x \sinh y

(2) cos⁡z\cos z 的展开

cos⁡z=cos⁡(x+iy)=cos⁡xcos⁡(iy)−sin⁡xsin⁡(iy)=cos⁡xcosh⁡y−isin⁡xsinh⁡y\begin{aligned} \cos z &= \cos(x + iy) \\ &= \cos x \cos(iy) - \sin x \sin(iy) \\ &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y \end{aligned}

因此：

Re(cos⁡z)=cos⁡xcosh⁡y,Im(cos⁡z)=−sin⁡xsinh⁡y\text{Re}(\cos z) = \cos x \cosh y, \quad \text{Im}(\cos z) = -\sin x \sinh y

2. 复双曲函数的实部与虚部展开

类似地，我们可以将复自变量的双曲函数进行展开：

(1) sinh⁡z\sinh z 的展开

sinh⁡z=sinh⁡(x+iy)=sinh⁡xcosh⁡(iy)+cosh⁡xsinh⁡(iy)=sinh⁡xcos⁡y+icosh⁡xsin⁡y\begin{aligned} \sinh z &= \sinh(x + iy) \\ &= \sinh x \cosh(iy) + \cosh x \sinh(iy) \\ &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \end{aligned}

(2) cosh⁡z\cosh z 的展开

cosh⁡z=cosh⁡(x+iy)=cosh⁡xcosh⁡(iy)+sinh⁡xsinh⁡(iy)=cosh⁡xcos⁡y+isinh⁡xsin⁡y\begin{aligned} \cosh z &= \cosh(x + iy) \\ &= \cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy) \\ &= \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \end{aligned}

3. 复数域中的周期性与无界性

在实数域中，正弦和余弦函数是有界的（值域为 [−1,1][-1, 1]），且具有周期 2π2\pi。然而，在复数域中，情况发生了剧烈的变化：

  1. 无界性: 从展开式 sin⁡(x+iy)=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡y\sin(x+iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y 可以看出，当 y→±∞y \to \pm\infty 时，双曲函数 cosh⁡y\cosh y 和 sinh⁡y\sinh y 会呈指数级增长。因此，复三角函数 sin⁡z\sin z 和 cos⁡z\cos z 在复平面上是无界的。

  2. 双曲函数的周期性: 实双曲函数是没有周期的，但由于它与三角函数在复数域中的联系，复双曲函数是周期函数，其周期为虚数：

    sinh⁡(z+2πi)=sinh⁡zcos⁡(2π)+icosh⁡zsin⁡(2π)=sinh⁡z\sinh(z + 2\pi i) = \sinh z \cos(2\pi) + i \cosh z \sin(2\pi) = \sinh z

    即：

    \sinh(z + 2\pi i) = \sinh z, \quad \cosh(z + 2\pi i) = \cosh z$$$$\tanh(z + \pi i) = \tanh z

4. 保形映射（Conformal Mapping）与解析函数

在复变函数中，函数 w=f(z)w = f(z) 可以被看作是从 zz 复平面到 ww 复平面的映射。

  • 映射 w=sin⁡zw = \sin z: 利用展开式 w=u+iv=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡yw = u + iv = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y，可知：

    u=sin⁡xcosh⁡y,v=cos⁡xsinh⁡yu = \sin x \cosh y, \quad v = \cos x \sinh y

    若消去 xx（考虑 y=cy = c 的水平线）：

    u2cosh⁡2c+v2sinh⁡2c=1\frac{u^2}{\cosh^2 c} + \frac{v^2}{\sinh^2 c} = 1

    这说明 zz 平面上的水平直线 y=cy=c 被映射为 ww 平面上的共焦椭圆。

    若消去 yy（考虑 x=cx = c 的垂直线）：

    u2sin⁡2c−v2cos⁡2c=1\frac{u^2}{\sin^2 c} - \frac{v^2}{\cos^2 c} = 1

    这说明 zz 平面上的垂直直线 x=cx=c 被映射为 ww 平面上的共焦双曲线。

这种映射在解决物理学中的边值问题（如电场分布、流体力学、热传导）中极为有用。例如，通过这些映射，可以将复杂的几何边界（如双电极平板、流体管道）转换成易于求解的规则矩形区域。

5. 留数定理与复积分中的极点

在复变函数的积分中，经常需要寻找双曲函数的零点作为被积函数的极点。例如，计算解析函数的留数时：

  • sinh⁡z=0\sinh z = 0 的根:

    sinh⁡(x+iy)=0  ⟹  sinh⁡xcos⁡y=0且cosh⁡xsin⁡y=0\sinh(x+iy) = 0 \implies \sinh x \cos y = 0 \quad \text{且} \quad \cosh x \sin y = 0

    因为 cosh⁡x≥1>0\cosh x \ge 1 > 0，所以必须 sin⁡y=0  ⟹  y=kπ(k∈Z)\sin y = 0 \implies y = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})。 代入前式：sinh⁡xcos⁡(kπ)=0  ⟹  sinh⁡x=0  ⟹  x=0\sinh x \cos(k\pi) = 0 \implies \sinh x = 0 \implies x = 0。 因此，sinh⁡z=0\sinh z = 0 的所有复数解为：

    z=kπi(k∈Z)z = k\pi i \quad (k \in \mathbb{Z})

  • cosh⁡z=0\cosh z = 0 的根: 通过类似推导，或者利用 cosh⁡z=sinh⁡(z+π2i)=0\cosh z = \sinh(z + \frac{\pi}{2}i) = 0，可得：

    z=(k+12)πi(k∈Z)z = \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi i \quad (k \in \mathbb{Z})

这些零点构成了诸如 f(z)=1cosh⁡zf(z) = \frac{1}{\cosh z} 或 f(z)=tanh⁡zf(z) = \tanh z 等复函数的一阶极点。利用留数定理（Residue Theorem），我们可以计算大量实域内极其困难的广义积分。