• 04 信号的傅里叶级数 如何从频率角度重构周期信号

• Decomposing Fourier transforms — an introduction to time-frequency decomposition

• Fourier Series

• Properties of Fourier Series (Part 1)

• Properties of Fourier Series (Part 2)

• Properties of Fourier Series (Part 3)

该动画展示了由6个正弦波分解而成的方波6分量近似值。这些分量频率在函数的频域中呈现为尖锐的峰值。

傅里叶变换的主要结果是傅里叶系数，这些系数用于计算信号中不同频率对应的功率谱：功率谱衡量了信号中各频率成分的贡献强度。

连续傅里叶变换将时域中的连续输入函数转换为频域中的新函数。

第三章：周期信号的傅里叶级数表示

3.0 引言 (Introduction)

本章的核心出发点是：将信号表示为一组基本信号的线性组合。 在信号与系统分析中，我们选择 复指数函数（Complex Exponentials）作为基本信号。

3.1为什么选择复指数信号？

1. 特征函数性质：线性时不变（LTI）系统对复指数信号的响应仍然是相同频率的复指数信号，改变的仅仅是复幅度（幅度与相位）。
2. 普适性：通过傅里叶分析，大部分信号都可以分解为复指数信号的组合，从而简化系统响应的计算。

• 连续时间系统：$e^{st} \xrightarrow{H} H(s)e^{st}$
• 离散时间系统：$z^n \xrightarrow{H} H(z)z^n$

3.2证明（连续时间 LTI 系统）

设系统的冲激响应为 $h(t)$，输入信号为 $x(t) = e^{st}$，则输出 $y(t)$ 为：

$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)x(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau$

$y(t) = e^{st} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$

令 $H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$（即系统函数），则有：

$y(t) = H(s)e^{st}$

3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

3.3.1 成谐波关系的复指数信号集

对于周期为 $T$、基频为 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 的周期信号，我们使用如下复指数信号集：

$\phi_k(t) = e^{jk\omega_0 t}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

这些信号的共同周期都是 $T$。

3.3.2 傅里叶级数形式

周期信号 $x(t)$ 可以表示为这些成谐波关系的复指数信号的线性组合：

$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$

其中 $a_k$ 称为傅里叶级数系数或频谱系数。

• $a_0$：直流分量（信号的平均值）。

• 三角函数形式：利用欧拉公式，$x(t)$ 也可以改写为正弦和余弦的组合形式：

  $x(t) = a_0 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} [B_k \cos(k\omega_0 t) - C_k \sin(k\omega_0 t)]$

3.3.3 确定系数 $a_k$（分析公式）

求系数的关键在于利用复指数信号在区间 $T$ 上的正交性。

推导步骤：

1. 在 $x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$ 两边同时乘以 $e^{-jn\omega_0 t}$。

2. 在一个周期 $T$ 内积分：

   $\int_T x(t)e^{-jn\omega_0 t} dt = \int_T \left( \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} \right) e^{-jn\omega_0 t} dt$

3. 交换积分与求和顺序：

   $\int_T x(t)e^{-jn\omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \left[ \int_T e^{j(k-n)\omega_0 t} dt \right]$

4. 利用正交性：

   • 当 $k=n$ 时，积分为 $\int_T 1 dt = T$。
   • 当 $k \neq n$ 时，积分为 $0$。

5. 得到 分析公式：

   $a_k = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$

例 3.5：周期性方波的傅里叶级数分析

信号定义（在一个周期内）：

$x(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T_1 \\ 0, & T_1 < |t| < T/2 \end{cases}$

基波周期为 $T$，基频 $\omega_0 = 2\pi/T$。

1. 求直流分量 $a_0$

$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T_1}^{T_1} 1 dt = \frac{2T_1}{T}$

这代表了信号在周期内的平均值（占空比）。

2. 求 $a_k$ ($k \neq 0$)

$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T_1}^{T_1} e^{-jk\omega_0 t} dt = \left[ \frac{1}{-jk\omega_0 T} e^{-jk\omega_0 t} \right]_{-T_1}^{T_1}$

$a_k = \frac{e^{jk\omega_0 T_1} - e^{-jk\omega_0 T_1}}{jk\omega_0 T} = \frac{2\sin(k\omega_0 T_1)}{k\omega_0 T}$

利用 $\omega_0 T = 2\pi$，整理得：

$a_k = \frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}, \quad k \neq 0$

$a_k$：傅里叶级数的第 $k$ 次谐波系数。

$\omega_0$：基波角频率，且 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$。

$T$：信号的周期。

$T_1$：脉冲半宽度（详见下文）。

在描述一个周期为 $T$ 的矩形波时，$T_1$ 通常定义为脉冲在零点附近的持续半宽度。

• 物理含义：如果一个周期内的脉冲中心在 $t=0$ 处，那么该脉冲的范围是从 $-T_1$ 到 $+T_1$。
• 脉冲全宽：整个脉冲的持续时间（脉宽）为 $2T_1$。
• 占空比：该信号的占空比（Duty Cycle）可以表示为 $\frac{2T_1}{T}$。

结论与观察

• 系数 $a_k$ 的包络呈现 $\text{Sa}(x)$ 函数形状。
• 当 $T$ 增加（周期变长）时，频谱线变得更加密集。
• 对于特定的 $T = 4T_1$，当 $k$ 为偶数时 $a_k = 0$。

3.4 傅里叶级数表示的收敛性

对于周期信号，傅里叶级数并不总是收敛于原信号。需要满足 狄里赫利（Dirichlet）条件：

1. 在任何周期内，$x(t)$ 绝对可积：$\int_T |x(t)| dt < \infty$。
2. 在任何有限区间内，$x(t)$ 具有有限个起伏变化（极大值和极小值）。
3. 在任何有限区间内，$x(t)$ 具有有限个不连续点。

3.5 连续时间傅里叶级数的性质

若 $x(t) \leftrightarrow a_k$ 且 $y(t) \leftrightarrow b_k$，周期均为 $T$，基频 $\omega_0 = 2\pi/T$。

1. 线性 (Linearity)

$Ax(t) + By(t) \leftrightarrow Aa_k + Bb_k$

2. 时移性质 (Time Shifting)

$x(t - t_0) \leftrightarrow a_k e^{-jk\omega_0 t_0}$

• 注意：时移不改变频谱的模（$|a_k|$ 不变），只改变相位。

已知延时器，求频率响应

3. 共轭与共轭对称性 (Conjugation)

$x^*(t) \leftrightarrow a_{-k}^*$

• 若 $x(t)$ 是实信号，则 $a_k = a_{-k}^*$（共轭对称）。
• 若 $x(t)$ 是实偶函数，则 $a_k$ 也是实偶函数。
• 若 $x(t)$ 是实奇函数，则 $a_k$ 是纯虚奇函数。

4. 时间反置 (Time Reversal)

$x(-t) \leftrightarrow a_{-k}$

5. 时域尺度变换 (Time Scaling)

$x(\alpha t) \leftrightarrow a_k$

• 注意：系数 $a_k$ 虽然没变，但信号的周期变为了 $T/\alpha$，基频变为了 $\alpha \omega_0$。

6. 相乘性质 (Multiplication)

两个周期信号在时域相乘，对应于其系数的离散卷积：

$x(t)y(t) \leftrightarrow h_k = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} a_l b_{k-l}$

两个周期均为 $N = 4$ 的离散序列 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$，其傅里叶级数系数分别为 $a_k$ 和 $b_k$。

根据题意，我们可以先明确一个周期内（$k = 0, 1, 2, 3$）各个系数的具体值：

• 关于 $a_k$：

  由 $a_0 = a_3 = \frac{1}{2}a_1 = \frac{1}{2}a_2 = 1$ 可得：

  $a_0 = 1, \quad a_1 = 2, \quad a_2 = 2, \quad a_3 = 1$

• 关于 $b_k$：

  $b_0 = b_1 = b_2 = b_3 = 1$

由于傅里叶级数系数具有周期性（周期为 $N=4$），即 $a_k = a_{k+4}$，$b_k = b_{k+4}$。

2. 利用相乘性质

题目要求求解 $g[n] = x_1[n]x_2[n]$ 的傅里叶级数系数 $c_k$。

根据离散时间傅里叶级数的时域相乘性质（Multiplication Property）：

时域两信号相乘，对应于频域系数的离散周期卷积（Periodic Convolution），并乘以常数因子。公式如下：

$c_k = \sum_{m=\langle N \rangle} a_m b_{k-m}$

这里周期 $N = 4$，我们选择在一个周期 $m \in [0, 3]$ 内进行求和：

$c_k = \sum_{m=0}^{3} a_m b_{k-m}$

3. 具体系数计算

因为对所有的 $k$，都有 $b_k = 1$（由于 $b_k$ 周期为 4，且一个周期内全为 1，这意味着对于任意整数 $k-m$，都有 $b_{k-m} = 1$）。

将 $b_{k-m} = 1$ 代入卷积公式中：

$c_k = \sum_{m=0}^{3} a_m \cdot 1 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3$

将前面整理好的 $a_k$ 的值代入：

$c_k = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$

由于计算结果与 $k$ 的具体取值无关，因此对所有的 $k$，其对应的系数均相等。

答卷结论

信号 $g[n]$ 的傅里叶级数系数为：

$c_k = 6 \quad (\text{对所有 } k)$

最容易被遗忘的就是，这里要使用周期卷积

7 微分性质 (Differentiation Property) —— 重点补充

若周期信号 $x(t)$ 的傅里叶级数系数为 $a_k$，则其导数的傅里叶级数系数为：

$\frac{dx(t)}{dt} \longleftrightarrow jk\omega_0 a_k$

意义：

• 时域的微分对应频域乘以系数 $jk\omega_0$。
• 对于某些“分段常数”信号（如方波），求导后会变成冲激串，其频谱极易求解，从而可以反推出原信号的频谱。

8. 帕塞瓦尔定理 (Parseval’s Relation)

周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波分量功率的总和：

$\frac{1}{T} \int_T |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |a_k|^2$

3.6 性质综合应用例题

例 3.6：利用线性与时移性质求位移方波

考虑信号 $g(t)$，其周期 $T=4$，求其傅里叶级数

它是例 3.5 中对称方波 $x(t)$（$T_1=1, T=4$）经过平移和直流偏移得到的：

$g(t) = x(t-1) - \frac{1}{2}$

求解过程：

1. 时移项：已知 $x(t) \leftrightarrow a_k$，根据时移性质，$x(t-1) \leftrightarrow b_k = a_k e^{-jk\omega_0(1)}$。由于 $T=4, \omega_0 = \pi/2$，则 $b_k = a_k e^{-jk\pi/2}$。
2. 直流项：$-1/2$ 仅影响 $k=0$ 时的系数。

注意为什么没有影响 其他k项

因为傅里叶级数本质是反应功率情况的功率特征

这里下降但是相对是没有改变的。

3. 组合结果：

$d_k = \begin{cases} a_k e^{-jk\pi/2}, & k \neq 0 \\ a_0 - \frac{1}{2}, & k = 0 \end{cases}$

代入例 3.5 结果 $a_k = \frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}$ 和 $a_0 = 1/2$，得：

$d_k = \begin{cases} \frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi} e^{-jk\pi/2}, & k \neq 0 \\ 0, & k = 0 \end{cases}$

例 3.7：利用微分性质求三角波频谱

考虑周期为 $T=4$ 的三角波 $x(t)$，求其傅里叶级数

其导数 $\frac{dx(t)}{dt}$ 正好是例 3.6 中的方波 $g(t)$。

求解过程：

1. 设三角波系数为 $e_k$，$g(t)$ 系数为 $d_k$。

2. 根据微分性质：$d_k = jk\omega_0 e_k = jk(\pi/2)e_k$。

3. 反推 $e_k$ ($k \neq 0$)：

   $e_k = \frac{d_k}{jk(\pi/2)} = \frac{\sin(k\pi/2)}{jk\pi \cdot jk(\pi/2)} e^{-jk\pi/2} = \frac{2\sin(k\pi/2)}{j(k\pi)^2} e^{-jk\pi/2}$

4. 直流分量：通过面积法求平均值，$e_0 = \frac{1}{4} \int_0^4 x(t)dt = 1/2$。

例 3.8：周期冲激串 (Impulse Train)

周期冲激串是采样理论的基础，定义为：

$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$

频谱分析：

$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-jk\omega_0 t} dt = \frac{1}{T}$

结论：周期冲激串的傅里叶级数系数全部相等，均为 $1/T$。这说明冲激串包含所有谐波分量，且强度一致。

进阶：利用冲激串求方波导数 方波 $g(t)$ 的导数 $q(t)$ 可以表示为两个位移冲激串之差：

$q(t) = x(t+T_1) - x(t-T_1)$

利用线性与时移性质，可直接写出 $q(t)$ 的系数 $b_k$，再结合微分性质 $b_k = jk\omega_0 c_k$，即可得到方波系数 $c_k = \frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}$。这与分析公式计算结果完全一致，证明了性质法的有效性。

例 3.9：根据性质反推信号（综合实战）

已知条件：

1. $x(t)$ 是实信号。
2. $T=4$，系数为 $a_k$。
3. $a_k = 0$ 对于 $|k| > 1$（信号只含直流和基波）。
4. $b_k = e^{-jk\pi/2} a_{-k}$ 对应的信号是奇信号。
5. 平均功率 $\frac{1}{4} \int_4 |x(t)|^2 dt = 1/2$。

推导过程：

1. 条件 1 & 3：$x(t) = a_0 + a_1 e^{j\pi t/2} + a_{-1} e^{-j\pi t/2}$。实信号要求 $a_0$ 实数，$a_1 = a_{-1}^*$。

2. 条件 4：$b_k$ 对应信号为 $x(-(t-1))$。若其为奇信号且 $x(t)$ 为实信号，则要求 $b_k$ 为纯虚数。 推导得 $b_0=0 \Rightarrow a_0=0$。且 $b_1 = -b_{-1}$。

3. 条件 5：利用帕塞瓦尔定理：$|a_0|^2 + |a_1|^2 + |a_{-1}|^2 = 1/2$。 因 $a_0=0$ 且 $|a_1|=|a_{-1}|$，得 $2|a_1|^2 = 1/2 \Rightarrow |a_1| = 1/2$。

4. 结合奇信号要求：最终确定 $a_1$ 必须使信号转化为正弦或余弦形式。经校验得：

   $x(t) = \pm \cos(\pi t / 2) \text{ 或 } \pm \sin(\pi t / 2)$

   （具体符号根据条件 4 的奇函数约束进一步确定，如 $a_1 = -1/2$ 时 $x(t) = -\cos(\pi t / 2)$）。

重点总结 (Key Takeaways)

1. 对称性：实偶信号对应实偶频谱；实奇信号对应纯虚奇频谱。
2. 微分法：遇到折线或阶跃信号，优先考虑求导。
3. 能量守恒：帕塞瓦尔定理连接了时域强度与频域幅度。

课后题

3.1

【【信号与系统课后题逐题精讲】奥本海姆第二版《信号与系统》课后题逐题详细解析【第一章~第五章】】 https://www.bilibili.com/video/BV1nj42197yF/?p=67&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

3.2

【【信号与系统课后题逐题精讲】奥本海姆第二版《信号与系统》课后题逐题详细解析【第一章~第五章】】 https://www.bilibili.com/video/BV1nj42197yF/?p=68&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

• 注意指数的共轭怎么写
• cos与sin之间的转换，为什么不是 n + pi/2 ，而是整个内部 + pi/2

3.3

【【信号与系统课后题逐题精讲】奥本海姆第二版《信号与系统》课后题逐题详细解析【第一章~第五章】】 https://www.bilibili.com/video/BV1nj42197yF/?p=69&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

这一题也错了，但是我认为是因为我对于欧拉公式不熟练掌握

3.4

【【信号与系统课后题逐题精讲】奥本海姆第二版《信号与系统》课后题逐题详细解析【第一章~第五章】】 https://www.bilibili.com/video/BV1nj42197yF/?p=70&share_source=copy_web&vd_source=27abef6992749c2b76e3f7b2a2c835b5

很重要

我原本认为应该用性质，也就是 时移 来求解

但是使用冲激串的方法似乎更加简单