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信号与系统-CH10-Z变换

信号与系统-CH10-Z变换，待补充摘要。

May 24, 2026 修考 20 min read

数字信号处理：Z 变换与滤波器设计

一、 Z 变换的基本概念 (Basic Concepts of Z-Transform)

1.1 提出目的与背景

在离散时间系统分析中，时域离散卷积计算较为繁琐。通过引入 Z 变换 (Z-Transform)，我们可以将时域的差分方程与卷积运算映射到复频域（Z 域），将时域的卷积运算简化为 Z 域的代数乘法，从而极大地简化频率响应与系统特性的计算。

1.2 数学定义

对于一个离散时间序列 $h[n]$ ，其 Z 变换定义为：

$H(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] z^{-k}$

其中 $z$ 是一个复变量：

$z = r e^{j\hat{\omega}}$

当取 $r = 1$ （即在复平面上的单位圆上评估）时， $z = e^{j\hat{\omega}}$ ，Z 变换即退化为离散时间傅里叶变换 (DTFT)：

$H(e^{j\hat{\omega}}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] e^{-j\hat{\omega}k}$

1.3 时域、频域与 Z 域的关系图

这三个域相辅相成，构成了离散信号与系统分析的基石：

1.4 基础例题解析

📝 例题 1：求单位冲激响应的 Z 变换

题目：已知某 LTI 系统的单位脉冲响应为 $h[n] = \{2, 0, -3, 0, 2\}$ （假设起点为 $n=0$ ），求其 Z 变换 $H(z)$ 。

解析：根据 Z 变换的定义，展开级数：

$H(z) = \sum_{n=0}^{4} h[n] z^{-n}$

$H(z) = h[0]z^{-0} + h[1]z^{-1} + h[2]z^{-2} + h[3]z^{-3} + h[4]z^{-4}$

代入序列值：

$H(z) = 2 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} - 3 \cdot z^{-2} + 0 \cdot z^{-3} + 2 \cdot z^{-4}$

$H(z) = 2 - 3z^{-2} + 2z^{-4}$

💡 修正提示：原手写笔记中写成了 $2\delta(n)z^0 - 3\delta(n)z^{-2} + 2\delta(n)z^{-4}$ ，在写出变换域多项式 $H(z)$ 时，冲激函数 $\delta[n]$ 的系数已直接转化为多项式的各项系数，无需再保留 $\delta(n)$ 符号。

📝 例题 2：求已知序列的 Z 变换

题目：已知时域输入序列 $x[n] = \{2, 4, 6, 4, 2\}$ （自 $n=0$ 开始），求其 Z 变换 $X(z)$ 。

解析：

$X(z) = \sum_{n=0}^{4} x[n]z^{-n} = 2 + 4z^{-1} + 6z^{-2} + 4z^{-3} + 2z^{-4}$

📝 例题 3：求逆 Z 变换 (Inverse Z-Transform)

题目：已知系统的 Z 变换多项式为：

$X(z) = 1 - 2z^{-1} + 3z^{-3} - z^{-5}$

求其对应的时域离散序列 $x[n]$ 。

解析：对照 Z 变换的标准级数展开式 $X(z) = \sum x[n] z^{-n}$ ，读出各项系数：

$x[0] = 1$ （ $z^0$ 的系数）
$x[1] = -2$ （ $z^{-1}$ 的系数）
$x[2] = 0$ （未出现 $z^{-2}$ 项）
$x[3] = 3$ （ $z^{-3}$ 的系数）
$x[4] = 0$ （未出现 $z^{-4}$ 项）
$x[5] = -1$ （ $z^{-5}$ 的系数）

因此，时域序列为：

$x[n] = \{1, -2, 0, 3, 0, -1\} \quad (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$

二、 Z 变换的性质与级联系统分析 (Properties & Cascade Systems)

2.1 延迟性质 (Delay Property)

若 $x[n] \leftrightarrow X(z)$ ，则序列移位一期对应在 Z 域乘上 $z^{-1}$ ：

$x[n-1] \leftrightarrow z^{-1}X(z)$

单位延迟系统 (Unit Delay System)：输入为 $x[n]$ ，输出为 $y[n] = x[n-1]$ 。其系统函数（传递函数）为：

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = z^{-1}$

其系统框图为：
```
x[n] -----> [ z⁻¹ ] -----> y[n]
```

2.2 卷积性质 (Convolution Property)

时域的离散卷积对应 Z 域的代数乘积：

$y[n] = h[n] * x[n] \quad \Longleftrightarrow \quad Y(z) = H(z) \cdot X(z)$

📐 卷积性质证明 (Mathematical Proof)：

已知 $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]x[n-k]$ ，对其求 Z 变换：

$Y(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n] z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]x[n-k] \right] z^{-n}$

交换求和顺序：

$Y(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-k] z^{-n} \right]$

令 $m = n - k$ ，则 $n = m + k$ ，上式变为：

$Y(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \left[ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{-(m+k)} \right]$

$Y(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] z^{-k} \cdot \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{-m}$

$Y(z) = H(z) \cdot X(z)$

证明完毕。

2.3 卷积例题分析（多项式乘积表格法）

📝 例题 4：利用 Z 变换计算系统响应

题目：已知输入信号 $x[n]$ 与系统的单位脉冲响应 $h[n]$ 分别为：

$x[n] = \delta[n-1] - \delta[n-2] + \delta[n-3] - \delta[n-4]$

$h[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] + 3\delta[n-2] + 4\delta[n-3]$

求输出响应 $y[n] = h[n] * x[n]$ 。

解析：首先将时域信号转换至 Z 域：

$X(z) = z^{-1} - z^{-2} + z^{-3} - z^{-4}$

$H(z) = 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} + 4z^{-3}$

计算 Z 域乘积 $Y(z) = X(z) \cdot H(z)$ 。我们可以利用多项式乘积表格（错位相加法）来进行高效计算：

乘数项 \ 系数对应	$z^0$	$z^{-1}$	$z^{-2}$	$z^{-3}$	$z^{-4}$	$z^{-5}$	$z^{-6}$	$z^{-7}$
$X(z)$ 的系数	0	1	-1	1	-1
乘上 $H(z)$ 的第一项 (1)	0	1	-1	1	-1
乘上 $H(z)$ 的第二项 ( $2z^{-1}$ )		0	2	-2	2	-2
乘上 $H(z)$ 的第三项 ( $3z^{-2}$ )			0	3	-3	3	-3
乘上 $H(z)$ 的第四项 ( $4z^{-3}$ )				0	4	-4	4	-4
列相加结果 $Y(z)$	0	1	1	2	2	-3	1	-4

通过对列进行求和，我们直接得出 $Y(z)$ 每一项的系数：

$Y(z) = z^{-1} + z^{-2} + 2z^{-3} + 2z^{-4} - 3z^{-5} + z^{-6} - 4z^{-7}$

通过逆 Z 变换转换回时域：

$y[n] = \{0, 1, 1, 2, 2, -3, 1, -4\} \quad (n = 0, 1, \dots, 7)$

2.4 系统级联 (Cascaded Systems)

当两个线性时不变 (LTI) 系统串联接在一起时：

x[n] -----> [ H₁(z) ] -----> w[n] -----> [ H₂(z) ] -----> y[n]

等效的整体传递函数为两者的乘积：

$H(z) = H_1(z) \cdot H_2(z)$

由于代数乘法满足交换律，串联系统的先后顺序可以任意调换（即 $H_1(z)H_2(z) = H_2(z)H_1(z)$ ），其总系统的特性保持不变。

📝 例题 5：求级联系统的等效系统方程

题目：已知级联系统由两个子系统构成，差分方程分别为：子系统 1： $w[n] = x[n] - x[n-1]$ 子系统 2： $y[n] = w[n] + w[n-1]$ 求整个级联系统的系统函数 $H(z)$ 以及时域差分方程。

解析：

方法一：Z 域分析法（推荐） 对两个子系统方程分别求 Z 变换：

$W(z) = X(z) - z^{-1}X(z) \implies H_1(z) = \frac{W(z)}{X(z)} = 1 - z^{-1}$

$Y(z) = W(z) + z^{-1}W(z) \implies H_2(z) = \frac{Y(z)}{W(z)} = 1 + z^{-1}$

等效传递函数为：

$H(z) = H_1(z) \cdot H_2(z) = (1 - z^{-1})(1 + z^{-1}) = 1 - z^{-2}$

转换为时域差分方程：

$\frac{Y(z)}{X(z)} = 1 - z^{-2} \implies Y(z) = X(z) - z^{-2}X(z)$

$y[n] = x[n] - x[n-2]$
方法二：时域代入法（互相印证） 将子系统 1 的方程代入子系统 2 中：

$y[n] = w[n] + w[n-1]$

$y[n] = (x[n] - x[n-1]) + (x[n-1] - x[n-2])$

$y[n] = x[n] - x[n-2]$

两种方法结果完全一致。

三、零点与极点及其物理意义 (Zeros & Poles)

在 Z 域中，我们可以通过系统函数 $H(z)$ 的零极点分布来直观分析系统的特性。

3.1 零点 (Zeros)

使系统传递函数值为 0 的复数 $z$ 值称为零点。即求解：

$H(z) = 0$

3.2 极点 (Poles)

使系统传递函数值趋于无穷大（ $\infty$ ）的复数 $z$ 值称为极点。即求解：

$H(z) \to \infty \quad \Longleftrightarrow \quad \text{分母多项式} = 0$

3.3 经典例题分析

📝 例题 6：求零极点并绘制零极点图

题目：已知某 LTI 系统：

$H(z) = 1 - 2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3}$

求该系统的所有零点与极点，并在复平面上绘制示意图。

解析：

求解零点：令 $H(z) = 0$ ：

$1 - 2z^{-1} + 2z^{-2} - z^{-3} = 0$

对该多项式进行因式分解：

$H(z) = (1 - z^{-1})(1 - z^{-1} + z^{-2}) = 0$
- 零点 1： $1 - z^{-1} = 0 \implies z = 1$
- 零点 2, 3： $1 - z^{-1} + z^{-2} = 0$ 为了方便计算，两边同乘 $z^2$ 得：
  
  $z^2 - z + 1 = 0$
  
  由一元二次方程求根公式：
  
  $z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{1 \pm j\sqrt{3}}{2} = e^{\pm j\pi/3}$
所以系统的 3 个零点为：

$z = 1, \quad z = e^{j\pi/3}, \quad z = e^{-j\pi/3}$
求解极点：为了寻找极点，我们将 $H(z)$ 改写为带有正次方幂的有理分式形式：

$H(z) = 1 - \frac{2}{z} + \frac{2}{z^2} - \frac{1}{z^3} = \frac{z^3 - 2z^2 + 2z - 1}{z^3}$

令分母为零： $z^3 = 0$ ，解得 $z = 0$ （三重根）。因此，系统在原点处有 3 个极点：

$p_1 = p_2 = p_3 = 0$
零极点图 (Pole-Zero Plot)：在复平面（Z 平面）上，零点用 $\circ$ 表示，极点用 $\times$ 表示，单位圆 $|z|=1$ 是一条重要的参考边界：

💡 核心答疑：如何用极点和零点来直观观察系统响应与发散（稳定性）？

你提到手写笔记中关于这一块有些疑惑，其实可以用以下两点来非常直观地理解：

1. 极点决定系统的“稳定性”（系统会不会发散）

物理本质：极点代表系统的自然共振频率。在时域中，如果系统极点 $p_k$ 的模大于 1（ $|p_k| > 1$ ，即极点落在单位圆外部），那么该系统对应的脉冲响应会随着时间呈指数级增长 $h[n] \propto p_k^n$ ，导致系统发散（不稳定）。
稳定性充要条件：因果 LTI 系统稳定的充要条件是，所有的极点都必须位于单位圆的内部（即 $|p_k| < 1$ ）。
本题分析：上面的例题中，所有极点都位于原点 $z = 0 < 1$ ，所以它是一个有限长冲激响应（FIR）系统，FIR 系统没有分母（或者说极点全在原点），因此绝对稳定，绝不发散。

2. 零点和极点共同决定系统的“频率响应”（决定是高通/低通/带通）

几何视角：当我们计算频率响应 $H(e^{j\hat{\omega}})$ 时，我们实际上是让复变量 $z$ 沿着单位圆滑动（其对应的角度就是数字角频率 $\hat{\omega}$ ）。
零点的作用（消减）：当单位圆上的滑动点靠近某个零点时，系统在该频率处的响应会受到强烈抑制。如果零点正好落在单位圆上（如 $z = e^{j\pi/3}$ ），那么当频率 $\hat{\omega} = \pi/3$ 时，频率响应增益刚好为 0（对应的频率信号被完全滤除）。
极点的作用（放大）：如果系统有极点靠近单位圆，当单位圆上的滑动点滑到极点附近时，由于分母变得极小，系统在对应频率处的增益会产生一个巨大的共振峰值。

四、 FIR 滤波器设计 (FIR Filter Design)

4.1 核心设计思想：高通 vs 低通

低通滤波器 (LPF)：我们希望低频（接近 $\hat{\omega} = 0$ ，即 $z=1$ 附近）信号通过，而高频（接近 $\hat{\omega} = \pi$ ，即 $z=-1$ 附近）信号被滤除。因此，应该把零点放在高频区域，使高频处的增益为 0。
高通滤波器 (HPF)：我们希望高频信号通过，低频信号被滤除。因此，应该把零点放在低频区域（如 $z=1$ 处），使低频增益为 0。

💡 概念修正：在你的手写笔记 image_643110.jpg 中，标题写着“如何设计 high pass filter”，而下方写着“Reject completely $0.7\pi, 0.8\pi, 0.9\pi$ ”。事实上，因为 $0.7\pi, 0.8\pi, 0.9\pi$ 属于高频成分，要把它们完全滤除（Reject），意味着让低频通过。所以这个例子实际设计的是一个低通滤波器 (Low-Pass Filter)，而非高通。

4.2 案例分析：根据消减频率要求设计 FIR 滤波器

任务目标：

设计一个低通 FIR 滤波器，确定其系数 $b_k$ 。
要求完全消除频率为 $\hat{\omega} = 0.7\pi, 0.8\pi, 0.9\pi$ 的信号。
确定滤波器的长度和需要多少个系数 $b_k$ 。

设计步骤 1：根据阻带需求确定基础零点

为了完全滤除 $0.7\pi, 0.8\pi, 0.9\pi$ 三个角频率，系统必须在这三个位置拥有零点：

$z_1 = e^{j0.7\pi}, \quad z_2 = e^{j0.8\pi}, \quad z_3 = e^{j0.9\pi}$

此时的基础系统函数为：

$H_{\text{base}}(z) = (z - e^{j0.7\pi})(z - e^{j0.8\pi})(z - e^{j0.9\pi})$

设计步骤 2：添加共轭对称零点（实系数约束）

如果直接展开 $H_{\text{base}}(z)$ ，得到的滤波器系数 $b_k$ 会是复数，这在实际电路或程序中很难实现。为了保证系数全部为实数，必须引入对应的共轭对称零点：

$z_1^* = e^{-j0.7\pi}, \quad z_2^* = e^{-j0.8\pi}, \quad z_3^* = e^{-j0.9\pi}$

组合共轭对称项：

$(z - e^{j\theta})(z - e^{-j\theta}) = z^2 - (e^{j\theta} + e^{-j\theta})z + e^0 = z^2 - 2\cos(\theta)z + 1$

将三组共轭零点两两配对，得到修正后的多项式：

$H_{\text{real}}(z) = (z^2 - 2\cos(0.7\pi)z + 1)(z^2 - 2\cos(0.8\pi)z + 1)(z^2 - 2\cos(0.9\pi)z + 1)$

由于 $\cos(0.7\pi), \cos(0.8\pi), \cos(0.9\pi)$ 都是实数，由此展开得到的系数必然全为实数。

设计步骤 3：引入原点极点（因果性约束）

此时展开的 $H_{\text{real}}(z)$ 含有 $z^6, z^5 \dots$ 等正次方项。

物理意义：含有正次方项的系统在时域中表示为 $y[n] = x[n+6] + \dots$ ，这意味着系统需要用到未来的信号。这在实时处理系统中是无法实现的（非因果系统）。
解决方法：我们在原点处引入 $6$ 个极点（即整体除以 $z^6$ ），将其转化为因果系统：

$H(z) = \frac{H_{\text{real}}(z)}{z^6} = z^{-6} H_{\text{real}}(z)$

$H(z) = (1 - 2\cos(0.7\pi)z^{-1} + z^{-2})(1 - 2\cos(0.8\pi)z^{-1} + z^{-2})(1 - 2\cos(0.9\pi)z^{-1} + z^{-2})$

4.3 最终设计结果

滤波器系统函数 $H(z)$ ：

$H(z) = \prod_{i=1}^{3} (1 - 2\cos(\theta_i)z^{-1} + z^{-2}) \quad \text{其中 } \theta_i \in \{0.7\pi, 0.8\pi, 0.9\pi\}$
滤波器长度与系数数量：因为最高的延迟项为 $z^{-6}$ （ $3$ 个二次多项式相乘），所以该 FIR 滤波器的阶数为：

$M = 6$

所需的滤波器系数 $b_k$ 数量（即滤波器长度 $L$ ）为：

$L = M + 1 = 7 \text{ 个系数 } (b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6)$
系数计算方式：将多项式全部展开后：

$H(z) = b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + b_3 z^{-3} + b_4 z^{-4} + b_5 z^{-5} + b_6 z^{-6}$

各系数对应时域差分方程：

$y[n] = \sum_{k=0}^{6} b_k x[n-k]$